普林斯顿微积分读本 · 第十五章
换元法、分部积分与部分分式
换元法（u-substitution）是积分计算中最基本、最重要的方法之一。它本质上是链式法则的"逆运算"——当我们识别到被积函数中存在一个复合函数及其内函数的导数时，就可以通过变量替换将复杂积分化简为基本积分。
令 u = g(x)，则 du = g'(x)dx，原积分中的变量 x 被替换为 u：
这个公式的直觉是：如果我们能将被积函数"拆解"成两部分——一部分是某个函数 f 的复合，另一部分恰好是内函数 g 的导数——那么令 u = g(x) 就能把积分完全用 u 表示，从而简化计算。
| 步骤 | 操作 | 说明 |
|---|---|---|
| 1 | 选择 u = g(x) | 观察被积函数，找出合适的内函数 g(x) |
| 2 | 计算 du = g'(x)dx | 对 u 求微分，得到 du 与 dx 的关系 |
| 3 | 用 u 重写积分 | 将原积分中所有 x 替换为 u 的表达式 |
| 4 | 求积分 | 对关于 u 的积分进行计算 |
| 5 | 回代 x | 将结果中的 u 替换回 g(x)，恢复为 x 的函数 |
选择 u 的关键是寻找被积函数中的"复合结构"。通常优先考虑：
对于定积分，换元法有一个重要的简化：可以同时变换积分限，避免最后回代的步骤。
当 x = a 时，u = g(a)；当 x = b 时，u = g(b)。这样积分限直接变为 u 的值，计算完关于 u 的定积分后无需回代。
换元法的几何本质是"坐标系变换"。想象你在 x 坐标系下看一个曲边梯形的面积，换元相当于换到 u 坐标系下重新观察同一个区域。虽然坐标轴变了、曲线形状变了，但面积不变——这就是换元法有效的原因。微分因子 du = g'(x)dx 正是两个坐标系之间的"面积缩放因子"。
分部积分法（Integration by Parts）是乘积法则的"逆运算"。当被积函数是两个函数的乘积，且换元法不适用时，分部积分法往往能解决问题。
这个公式来源于乘积法则 (uv)' = u'v + uv' 的两边积分。选择哪个因子为 u、哪个为 dv，直接决定了计算的难易程度。
当面对 ∫f(x)g(x)dx 时，按照以下优先级选择 u（剩下的部分作为 dv）：
| 优先级 | 类型 | 说明 | 典型函数 |
|---|---|---|---|
| L | 对数函数 | 最优先选为 u，因为求导后简化 | ln(x), log(x) |
| I | 反三角函数 | 求导后变为代数函数 | arcsin(x), arctan(x) |
| A | 代数函数 | 多项式、有理函数等 | x, x², 1/x |
| T | 三角函数 | 积分后仍为三角函数 | sin(x), cos(x) |
| E | 指数函数 | 积分后仍为指数函数 | ex, 2x |
LIATE 法则的核心逻辑是：排在越前面的函数，求导后越容易简化。对数函数求导后变成 1/x（代数函数），反三角函数求导后变成代数函数，而三角函数和指数函数无论求导还是积分都不会改变类型。因此，我们希望 u 是求导后会简化的函数，而 dv 是容易积分的函数。
当需要多次应用分部积分时（例如 ∫xnexdx），逐次展开会非常繁琐。表格法（也叫 DI 方法）提供了一种系统化的方式：
分部积分的本质是一种"以退为进"的策略：将一个难以直接计算的积分，转化为另一个（希望更简单的）积分。就像解方程时，我们常常通过移项将未知量集中到一侧——分部积分则是通过"转移"一部分难度，让整体问题变得可解。选择好 u 和 dv 的关键，就是确保"转移"后的问题确实更简单。
部分分式分解（Partial Fractions）是处理有理函数积分的有力工具。其核心思想是将一个复杂的有理函数拆解为若干个简单分式的和，然后分别积分。
如果分子的次数大于或等于分母的次数，需要先用多项式除法（长除法）将假分式化为真分式与多项式的和。
| 步骤 | 操作 | 说明 |
|---|---|---|
| 1 | 因式分解分母 | 将 Q(x) 分解为一次因式和不可约二次因式的乘积 |
| 2 | 设部分分式 | 根据因式类型设定对应的部分分式形式 |
| 3 | 通分比较系数 | 将所有部分分式通分，与原式比较分子，解方程组 |
| 4 | 分别积分 | 对每个简单的部分分式分别求积分 |
| 分母因式类型 | 部分分式形式 | 积分结果 |
|---|---|---|
| 一次因式 (x - a) | A/(x - a) | A · ln|x - a| |
| 重根因式 (x - a)² | A/(x - a) + B/(x - a)² | A · ln|x - a| - B/(x - a) |
| 不可约二次因式 (x² + px + q) | (Bx + C)/(x² + px + q) | 需要完成平方后积分 |
对于不可约二次因式 x² + px + q，完成平方的步骤为：
令 u = x + p/2，则积分变为 ∫(Bu + C')/(u² + a²)du 的形式，其中 a² = q - p²/4。这可以进一步拆分为 ln 和 arctan 两部分。
部分分式分解就像把一个大分数拆成几个小分数的和。例如 5/6 = 1/2 + 1/3，虽然值不变，但每个小分数更容易处理。对于有理函数，分母的每个因式都"贡献"一个对应的简单分式——就像把一个复杂问题分解为若干个简单子问题，逐个击破。
概率密度函数积分：在概率论中，连续随机变量的概率由概率密度函数 f(x) 的积分给出。例如正态分布 N(μ, σ²) 的概率计算需要用到换元法将一般正态分布标准化为标准正态分布，这是统计推断和假设检验的基础。
信号能量计算：在信号处理中，信号的总能量定义为 E = ∫|x(t)|²dt。对于衰减的正弦信号 x(t) = e^(-at)sin(ωt)，计算能量需要分部积分两次，形成循环后解出能量值。这在通信系统和音频工程中至关重要。
电路中的功率积分：交流电路中，电阻消耗的平均功率 P = (1/T)∫[0,T] i²(t)R dt。对于非正弦周期电流（如整流后的脉动电流），需要用三角恒等式降幂后积分，这是电力电子和电源设计的核心计算。
求 ∫2x · √(x²+1) dx
第一步：选择 u
观察被积函数，√(x²+1) 是一个复合函数，其内函数为 x²+1。注意到 2x 恰好是 x²+1 的导数。
第二步：计算 du
恰好被积函数中就有 2x dx 这一项。
第三步：用 u 重写积分
第四步：求积分
第五步：回代 x
求 ∫x · ex dx
第一步：选择 u 和 dv（LIATE 法则）
根据 LIATE 法则，代数函数 x 优先于指数函数 ex，所以：
第二步：应用分部积分公式
第三步：计算剩余积分
第四步：合并结果
求 ∫ex · sin(x) dx
第一步：选择 u 和 dv
第二步：第一次分部积分
右侧出现了新的积分 ∫excos(x)dx，需要再次分部积分。
第三步：第二次分部积分
对 ∫excos(x)dx，再次选择：
第四步：代入并解方程
将第二次的结果代入第一次的结果：
求 ∫1/(x²-1) dx
第一步：因式分解分母
第二步：设部分分式
第三步：通分比较系数
令 x = 1：1 = A(0) + B(2) ⇒ B = 1/2
令 x = -1：1 = A(-2) + B(0) ⇒ A = -1/2
第四步：分别积分
求 ∫x/(x²+3x+2) dx
第一步：因式分解分母
deg(P) = 1 < deg(Q) = 2，满足条件，可以直接分解。
第二步：设部分分式
第三步：通分比较系数
令 x = -1：-1 = A(1) + B(0) ⇒ A = -1
令 x = -2：-2 = A(0) + B(-1) ⇒ B = 2
验证：展开 A(x+2) + B(x+1) = -x - 2 + 2x + 2 = x。正确。
第四步：分别积分
以下 MATLAB 代码帮助你可视化换元法、验证分部积分结果以及进行部分分式分解。