普林斯顿微积分读本 · 第十四章

微积分基本定理

微分与积分的互逆关系

14.1

第一基本定理

微积分基本定理是整个微积分学中最重要的定理，它揭示了微分和积分这两个看似截然不同的运算之间的深刻联系。第一基本定理告诉我们：对一个连续函数做积分，再对结果求导，就回到了原来的函数。

定义

设 f(t) 在 [a, b] 上连续，定义一个新的函数 F(x)：

F(x) = ∫ax f(t) dt      (a ≤ x ≤ b)

这个函数 F(x) 表示的是 f(t) 从 a 到 x 的累积量。注意：积分上限 x 是变量，积分变量是 t，两者不要混淆。

第一基本定理

若 f 在 [a, b] 上连续，则 F(x) = ∫ax f(t) dt 在 [a, b] 上可导，且

F'(x) = f(x)      (a ≤ x ≤ b)

换句话说，积分的导数等于被积函数。这个定理建立了微分和积分之间的桥梁。

直觉理解：水箱模型

累积水量的变化率 = 当前水流速度

想象一个水箱，f(t) 是水流入水箱的瞬时速度（单位：升/秒），F(x) = ∫ax f(t) dt 是从时刻 a 到时刻 x 流入水箱的总水量。那么 F'(x) 就是总水量的变化率——也就是当前时刻的水流速度 f(x)。

这个类比完美地诠释了第一基本定理：累积量的变化率 = 瞬时变化率。积分把"速度"变成"总量"，导数又把"总量"变回"速度"。

证明思路（简要）

第一基本定理的证明核心是利用导数的定义和积分的中值定理：

第一基本定理的证明思路

第一步：写出导数定义

F'(x) = lim(h→0) [F(x+h) - F(x)] / h

第二步：展开 F(x+h) - F(x)

F(x+h) - F(x) = ∫ax+h f(t) dt - ∫ax f(t) dt = ∫xx+h f(t) dt

利用积分的区间可加性，两个积分相减等于从 x 到 x+h 的积分。

第三步：应用积分中值定理

∫xx+h f(t) dt = f(c) · h      (c 介于 x 和 x+h 之间)

由积分中值定理，存在某个 c ∈ (x, x+h) 使得上式成立。

第四步：代入导数定义并取极限

F'(x) = lim(h→0) [f(c) · h] / h = lim(h→0) f(c) = f(x)

当 h → 0 时，c 被迫趋近于 x。由于 f 连续，lim f(c) = f(x)。

第一基本定理的深刻意义

第一基本定理告诉我们，每个连续函数都有原函数。虽然我们可能写不出原函数的解析表达式，但 F(x) = ∫ax f(t) dt 本身就是一个原函数。这个结论在理论上极为重要，它保证了原函数的存在性。

图 14-1：第一基本定理——f(x) = sin(x)、F(x) = 1 - cos(x)、F'(x) = sin(x) 三线对比
14.2

第二基本定理

如果第一基本定理说的是"积分再求导等于原函数"，那么第二基本定理说的就是反过来：找原函数就能算定积分。这是计算定积分的最核心方法。

第二基本定理

若 F 是 f 的任一原函数（即 F' = f），则

∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)

记法

F(b) - F(a) = [F(x)]ab = F(x) |ab

方括号记法 [F(x)]ab 是一种简洁的写法，表示"把 b 代入 F 减去把 a 代入 F"。

意义

求定积分只需找原函数，计算端点差值

第二基本定理将定积分的计算问题转化为求原函数的问题。不需要再通过黎曼和的极限来计算面积，只需要：

  1. 找到被积函数 f(x) 的一个原函数 F(x)
  2. 计算 F 在积分上限和下限处的差值 F(b) - F(a)

这个方法极其强大——它把一个原本需要取极限的复杂问题，简化为代数运算。

两个基本定理的关系

第一基本定理和第二基本定理是同一枚硬币的两面：

  • 第一基本定理：先积分，再求导 → 回到原函数（F' = f）
  • 第二基本定理：先求导（找原函数），再积分 → 算出定积分（∫f = F(b) - F(a)）

两者合在一起，完整地表达了微分和积分的互逆关系。

两个基本定理的统一理解

第一基本定理告诉我们：微分"撤销"积分（在变量上限的意义上）。第二基本定理告诉我们：积分"撤销"微分（在求原函数的意义上）。两者合起来说明：微分和积分是互逆运算——就像加法和减法、乘法和除法一样。这是微积分最核心的洞见，也是牛顿和莱布尼茨的伟大发现。

实际应用：微积分基本定理在工程中的应用

累积流量与瞬时流量：水表记录的是累积用水量 V(t) = ∫0t Q(s)ds，其中 Q(t) 是瞬时流量。根据第一基本定理，dV/dt = Q(t)，即水表读数的变化率就是当前流速。这是流量计设计的数学原理。

电池电量与充电速率：电池电量 E(t) = ∫0t P(s)ds，其中 P(t) 是充电功率。充电速率（功率）是电量对时间的导数，而电量是功率对时间的积分。手机显示的电池百分比正是功率的累积积分。

旋转体体积（圆盘法）：曲线 y = f(x) 绕 x 轴旋转形成的旋转体体积 V = π∫ab[f(x)]²dx。这是第二基本定理的直接应用，用于计算花瓶、火箭燃料箱和涡轮机叶片的容积。

图 14-2：第二基本定理——面积与原函数差值的关系（f(x) = x²）
14.3

不定积分

不定积分就是求一个函数的全体原函数。由于导数运算会丢失常数项的信息（常数的导数为零），所以一个函数的原函数不止一个，而是一个函数族。

∫ f(x) dx = F(x) + C

其中 F(x) 是 f(x) 的某一个原函数，C 是任意常数（称为积分常数）。"+C" 表示原函数有无限多个，它们之间只差一个常数。

为什么需要 "+C"？

如果 F'(x) = f(x)，那么 (F(x) + 5)' = F'(x) + 0 = f(x)，所以 F(x) + 5 也是 f(x) 的原函数。同理，F(x) + C（C 为任意常数）都是原函数。由于常数的导数为零，我们无法通过求导来区分不同的常数，因此必须保留 "+C" 来表示完整的原函数族。

常用不定积分表

被积函数不定积分条件
xn∫ xn dx = xn+1/(n+1) + Cn ≠ -1
1/x∫ 1/x dx = ln|x| + Cx ≠ 0
ex∫ ex dx = ex + C
sin(x)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
cos(x)∫ cos(x) dx = sin(x) + C
sec²(x)∫ sec²(x) dx = tan(x) + C
记忆技巧

不定积分表其实就是导数表反过来读。建议先熟记导数公式，然后自然就能写出不定积分。例如：因为 (sin x)' = cos x，所以 ∫ cos x dx = sin x + C。

注意 ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C，不要忘记负号！因为 (-cos x)' = sin x。

不定积分的基本性质

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx      (k 为常数)

这两个性质告诉我们：积分运算具有线性性——可以逐项积分，常数因子可以提到积分号外面。

14.4

计算定积分的步骤

利用第二基本定理计算定积分，只需要两个步骤：

步骤操作说明
1找原函数 F(x)求 ∫ f(x) dx = F(x) + C，找到任意一个原函数 F(x) 即可
2计算 F(b) - F(a)将积分上限 b 和下限 a 分别代入 F(x)，然后相减
为什么不需要 "+C"？

在计算定积分时，不需要写出 "+C"。因为 F(b) + C - (F(a) + C) = F(b) - F(a)，常数 C 自动消去了。所以只需要找到任意一个原函数即可。

计算定积分的注意事项
  • 确保被积函数在积分区间上连续，否则第二基本定理可能不适用
  • 注意积分变量的替换——积分变量是"哑变量"，可以换成任何字母
  • 如果积分区间包含使被积函数无定义的点，需要分段积分
  • 计算 F(b) - F(a) 时要仔细代入，避免符号错误
EX

例题精讲

例1：求 ∫02 x³ dx

求 ∫02 x³ dx

第一步：找原函数

∫ x3 dx = x4/4 + C

所以取 F(x) = x4/4。

第二步：计算 F(2) - F(0)

F(2) = 24/4 = 16/4 = 4
F(0) = 04/4 = 0

∫02 x3 dx = F(2) - F(0) = 4 - 0 = 4
∫02 x3 dx = 4
例2：求 ∫0π/2 sin(x) dx

求 ∫0π/2 sin(x) dx

第一步：找原函数

∫ sin(x) dx = -cos(x) + C

所以取 F(x) = -cos(x)。

第二步：计算 F(π/2) - F(0)

F(π/2) = -cos(π/2) = -0 = 0
F(0) = -cos(0) = -1

∫0π/2 sin(x) dx = 0 - (-1) = 1

几何意义

sin(x) 在 [0, π/2] 上非负，所以积分值 1 就是曲线 y = sin(x) 与 x 轴在 [0, π/2] 之间围成的面积。

∫0π/2 sin(x) dx = 1
例3：求 ∫14 (2√x + 1/x²) dx

求 ∫14 (2√x + 1/x²) dx

第一步：化简被积函数

2√x + 1/x2 = 2x1/2 + x-2

第二步：逐项找原函数

∫ 2x1/2 dx = 2 · x3/2/(3/2) = (4/3)x3/2
∫ x-2 dx = x-1/(-1) = -1/x

所以取 F(x) = (4/3)x3/2 - 1/x。

第三步：计算 F(4) - F(1)

F(4) = (4/3)(4)3/2 - 1/4 = (4/3)(8) - 1/4 = 32/3 - 1/4
F(1) = (4/3)(1)3/2 - 1/1 = 4/3 - 1 = 1/3

F(4) - F(1) = (32/3 - 1/4) - 1/3 = 31/3 - 1/4 = (124 - 3)/12 = 121/12
∫14 (2√x + 1/x²) dx = 121/12
例4：验证第一基本定理——设 F(x) = ∫0x sin(t) dt，验证 F'(x) = sin(x)

验证：设 F(x) = ∫0x sin(t) dt，证明 F'(x) = sin(x)。

方法一：直接用第一基本定理

由第一基本定理，若 f(t) = sin(t) 在 [0, x] 上连续，则：

F'(x) = f(x) = sin(x)      ✓

验证完毕。

方法二：先算积分，再求导

F(x) = ∫0x sin(t) dt = [-cos(t)]0x = -cos(x) - (-cos(0)) = -cos(x) + 1 = 1 - cos(x)

对 F(x) 求导：

F'(x) = d/dx [1 - cos(x)] = 0 + sin(x) = sin(x)      ✓

两种方法的一致性

方法一直接应用第一基本定理，方法二先算出积分再用第二基本定理求导。两种方法得到相同的结果 F'(x) = sin(x)，这正是两个基本定理互为补充的体现。

F'(x) = sin(x)      第一基本定理验证通过
例5：求 ∫01 ex dx 并解释其几何意义

求 ∫01 ex dx

第一步：找原函数

∫ ex dx = ex + C

所以取 F(x) = ex。

第二步：计算 F(1) - F(0)

F(1) = e1 = e
F(0) = e0 = 1

∫01 ex dx = e - 1 ≈ 1.71828

几何意义

ex 在 [0, 1] 上始终大于零且单调递增。积分值 e - 1 表示曲线 y = ex 与 x 轴、直线 x = 0 和直线 x = 1 所围成的曲边梯形的面积。

这个面积大于矩形面积 1 × 1 = 1（因为 ex ≥ 1），小于矩形面积 1 × e ≈ 2.718（因为 ex ≤ e），实际值 e - 1 ≈ 1.718 恰好介于两者之间。

∫01 ex dx = e - 1 ≈ 1.71828（曲线 y = ex 在 [0,1] 下的面积）
ML

MATLAB 可视化代码

以下 MATLAB 代码帮助你验证微积分基本定理，并可视化积分与导数的关系。

ftc1_verification.m — 第一基本定理验证：数值积分 vs 解析导数
% 第一基本定理验证 % F(x) = integral(0->x) sin(t)dt = 1 - cos(x) % F'(x) 应该等于 sin(x) x = linspace(0, 2*pi, 500); % 数值计算 F(x) = integral(0->x) sin(t)dt F_numerical = zeros(size(x)); for i = 1:length(x) F_numerical(i) = integral(@(t) sin(t), 0, x(i)); end % 解析值 F_analytical = 1 - cos(x); f_original = sin(x); % 数值导数 Fprime_numerical = gradient(F_numerical, x); figure('Position', [100 100 900 550]); plot(x, F_analytical, 'LineWidth', 2.5, 'Color', [0.77 0.36 0.24]); hold on; plot(x, Fprime_numerical, '--', 'LineWidth', 2, 'Color', [0.18 0.49 0.43]); plot(x, f_original, '--', 'LineWidth', 2, 'Color', [0.9 0.64 0.24]); xlabel('x'); ylabel('y'); title('第一基本定理验证：F(x)=1-cos(x), F''(x)=sin(x)'); legend('F(x) = 1 - cos(x)', 'F''(x) 数值导数', ... 'f(x) = sin(x)', 'Location', 'best'); grid on; % 验证误差 err = max(abs(Fprime_numerical - f_original)); fprintf('F''(x) 与 f(x) 的最大误差: %.2e\n', err); saveas(gcf, 'ch14_ftc1_verification.png');
ftc2_demo.m — 第二基本定理演示：面积 = F(b) - F(a)
% 第二基本定理演示 % f(x) = x^2, F(x) = x^3/3 % 验证 integral(0->a) x^2 dx = F(a) - F(0) = a^3/3 a_values = linspace(0.1, 3, 50); % 数值积分 area_numerical = zeros(size(a_values)); for i = 1:length(a_values) area_numerical(i) = integral(@(x) x.^2, 0, a_values(i)); end % 解析值：F(a) - F(0) = a^3/3 area_analytical = a_values.^3 / 3; figure('Position', [100 100 900 550]); % 上子图：曲线和面积 subplot(2,1,1); x = linspace(0, 3, 500); plot(x, x.^2, 'LineWidth', 2.5, 'Color', [0.77 0.36 0.24]); hold on; % 填充 a=2 处的面积 a_demo = 2; x_fill = linspace(0, a_demo, 200); fill([x_fill, a_demo, 0], [x_fill.^2, 0, 0], ... [0.77 0.36 0.24], 'FaceAlpha', 0.2, 'EdgeColor', 'none'); plot([a_demo a_demo], [0 a_demo^2], 'k--', 'LineWidth', 1); text(a_demo+0.1, a_demo^2/2, ... sprintf('面积 = %.4f\nF(2)-F(0) = %.4f', ... a_demo^3/3, a_demo^3/3), 'FontSize', 11); xlabel('x'); ylabel('f(x) = x^2'); title('第二基本定理：\int_0^a x^2 dx = a^3/3'); grid on; % 下子图：数值积分 vs 解析值 subplot(2,1,2); plot(a_values, area_numerical, 'o', 'MarkerSize', 5, 'Color', [0.18 0.49 0.43]); hold on; plot(a_values, area_analytical, '-', 'LineWidth', 2.5, 'Color', [0.77 0.36 0.24]); xlabel('a'); ylabel('面积'); title('数值积分 vs 解析值 F(a)-F(0)'); legend('数值积分', 'F(a) - F(0) = a^3/3', 'Location', 'best'); grid on; saveas(gcf, 'ch14_ftc2_demo.png');
indefinite_integral_vis.m — 不定积分可视化
% 不定积分可视化：展示原函数族 F(x) + C % f(x) = cos(x), F(x) = sin(x) + C x = linspace(-2*pi, 2*pi, 500); f = cos(x); C_values = [-2, -1, 0, 1, 2]; colors = lines(length(C_values)); figure('Position', [100 100 900 550]); % 画被积函数 subplot(1,2,1); plot(x, f, 'LineWidth', 2.5, 'Color', [0.77 0.36 0.24]); xlabel('x'); ylabel('y'); title('被积函数 f(x) = cos(x)'); grid on; % 画原函数族 subplot(1,2,2); hold on; for i = 1:length(C_values) plot(x, sin(x) + C_values(i), 'LineWidth', 1.8, ... 'Color', colors(i,:), ... 'DisplayName', sprintf('C = %d', C_values(i))); end xlabel('x'); ylabel('y'); title('原函数族 F(x) = sin(x) + C'); legend('Location', 'best'); grid on; saveas(gcf, 'ch14_indefinite_integral.png');
CH

交互式图表

图 14-1：第一基本定理——f(x) = sin(x)、F(x) = 1 - cos(x)、F'(x) = sin(x) 三线对比
图 14-2：第二基本定理——面积与原函数差值的关系（f(x) = x²）