普林斯顿微积分读本 · 第十六章
三角恒等式与三角换元
三角恒等式是化简三角函数积分的利器。当被积函数中含有高次幂的三角函数时，直接积分往往很困难，但利用恒等式可以将它们化简为更易处理的形式。
在积分之前，先观察被积函数是否可以通过三角恒等式化简。最常用的恒等式包括：
| 恒等式 | 用途 | 典型场景 |
|---|---|---|
| sin²(x) = (1 − cos(2x))/2 | 降幂 | 被积函数含 sin²(x) 或更高偶数次幂 |
| cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 | 降幂 | 被积函数含 cos²(x) 或更高偶数次幂 |
| tan²(x) = sec²(x) − 1 | 转化 | 被积函数含 tan²(x)，可化为 sec²(x) 方便积分 |
| sin²(x) + cos²(x) = 1 | 化简 | 被积函数分母为 sin²(x)+cos²(x) 时直接等于 1 |
| 1 + tan²(x) = sec²(x) | 转化 | 将被积函数中的 1+tan²(x) 替换为 sec²(x) |
| 1 + cot²(x) = csc²(x) | 转化 | 将被积函数中的 1+cot²(x) 替换为 csc²(x) |
| sin(2x) = 2sin(x)cos(x) | 倍角化简 | 被积函数含 sin(x)cos(x) 乘积 |
当你看到被积函数中包含以下特征时，应优先考虑三角恒等式：
降幂公式 sin²(x) = (1−cos(2x))/2 的本质是将"高频振荡"的平方转化为"低频分量 + 高频分量"的线性组合。平方运算产生了直流分量（常数 1/2）和倍频分量（−cos(2x)/2），这使得积分变得可行——因为 ∫cos(2x)dx = sin(2x)/2 是基本积分。
形如 ∫sinn(x)cosm(x)dx 和 ∫tann(x)secm(x)dx 的积分，有一套系统化的策略。关键在于根据幂的奇偶性选择不同的化简路径。
| 条件 | 策略 | 具体操作 |
|---|---|---|
| m 为奇数 | 留一个 cos(x)，其余化为 sin(x) |
将 cosm(x) 拆为 cosm−1(x)·cos(x)， 利用 cos²(x) = 1 − sin²(x) 将 cosm−1(x) 全部化为 sin(x) 的多项式， 令 u = sin(x)，du = cos(x)dx |
| n 为奇数 | 留一个 sin(x)，其余化为 cos(x) |
将 sinn(x) 拆为 sinn−1(x)·sin(x)， 利用 sin²(x) = 1 − cos²(x) 将 sinn−1(x) 全部化为 cos(x) 的多项式， 令 u = cos(x)，du = −sin(x)dx |
| m 和 n 都为偶数 | 使用降幂公式 |
反复应用 sin²(x) = (1−cos(2x))/2 和 cos²(x) = (1+cos(2x))/2， 将高次幂逐步降为低次幂，直到出现奇数次幂或仅剩常数和 cos(2x) 的幂 |
"留一个"的本质是确保换元时 du 能恰好匹配。例如 m 为奇数时，我们留 cos(x)dx 作为 du 的一部分（因为 d(sin(x)) = cos(x)dx），而将剩余的 cosm−1(x) 通过恒等式全部转化为 sin(x) 的表达式。这样整个积分就变成了关于 u = sin(x) 的多项式积分。
| 条件 | 策略 | 具体操作 |
|---|---|---|
| m 为偶数 | 留 sec²(x)，其余化为 tan(x) |
将 secm(x) 拆为 secm−2(x)·sec²(x)， 利用 sec²(x) = 1 + tan²(x) 将 secm−2(x) 化为 tan(x) 的多项式， 令 u = tan(x)，du = sec²(x)dx |
| n 为奇数 | 留 sec(x)tan(x)，其余化为 sec(x) |
将 tann(x) 拆为 tann−1(x)·tan(x)， 利用 tan²(x) = sec²(x) − 1 将 tann−1(x) 化为 sec(x) 的多项式， 令 u = sec(x)，du = sec(x)tan(x)dx |
当 m 和 n 都为偶数时，策略是反复使用 sec²(x) = 1+tan²(x) 将 sec 的偶次幂转化为 tan 的多项式乘以 sec²(x)，然后令 u = tan(x)。这类积分通常需要多次展开，计算量较大。
无论是 sin-cos 还是 tan-sec 的幂积分，核心思想都是一样的：识别哪个函数的导数恰好出现在被积函数中。留出那个"桥梁"函数（如 cos(x) 是 sin(x) 的导数，sec²(x) 是 tan(x) 的导数），然后利用恒等式将剩余部分全部转化为桥梁函数的自变量，最终实现换元。
三角换元法（Trigonometric Substitution）是处理含根式的积分的强大工具。当被积函数中含有 √(a² − x²)、√(a² + x²) 或 √(x² − a²) 这三种形式之一时，通过适当的三角替换可以将根号消去。
| 被积函数含 | 替换 | 依据的恒等式 | 根号化为 |
|---|---|---|---|
| √(a² − x²) | x = a sin(θ) | 1 − sin²(θ) = cos²(θ) | a cos(θ) |
| √(a² + x²) | x = a tan(θ) | 1 + tan²(θ) = sec²(θ) | a sec(θ) |
| √(x² − a²) | x = a sec(θ) | sec²(θ) − 1 = tan²(θ) | a tan(θ) |
| 步骤 | 操作 | 说明 |
|---|---|---|
| 1 | 识别根式类型 | 判断是 a²−x²、a²+x² 还是 x²−a² |
| 2 | 选择替换 | 根据根式类型选择 x = a sin(θ)、x = a tan(θ) 或 x = a sec(θ) |
| 3 | 计算 dx | 对替换式求微分，得到 dx 与 dθ 的关系 |
| 4 | 代入化简 | 将 x 和 dx 全部用 θ 表示，利用三角恒等式消去根号 |
| 5 | 关于 θ 积分 | 对化简后的三角函数积分进行计算 |
| 6 | 回代 x | 画直角三角形，从三角函数值反推 x 与 θ 的关系，将结果用 x 表示 |
三角换元最容易被忽略的一步是回代。积分结果通常用 θ 的三角函数表示（如 sin(θ)、tan(θ)），需要将其转回 x 的表达式。画一个直角三角形是最可靠的方法：根据替换关系（如 x = a sin(θ) 意味着对边为 x、斜边为 a），在三角形上标注各边，然后直接读出其他三角函数值。
三角换元本质上是将代数问题转化为几何问题。√(a²−x²) 描述的是半径为 a 的圆的上半部分——令 x = a sin(θ) 相当于用角度参数化圆上的点。√(a²+x²) 描述的是等轴双曲线的一支——令 x = a tan(θ) 则是用角度参数化。理解这种几何对应关系，有助于记忆正确的替换形式。
面对一个积分问题时，选择正确的方法是成功的关键。以下决策流程可以帮助你系统地判断应该使用哪种积分技巧。
许多积分需要组合使用多种技巧。常见组合包括：
| 被积函数特征 | 推荐方法 | 关键公式/操作 |
|---|---|---|
| 复合函数 f(g(x))·g'(x) | 换元法 | 令 u = g(x) |
| 两个函数的乘积 | 分部积分 | ∫udv = uv − ∫vdu |
| 有理函数 P(x)/Q(x) | 部分分式 | 因式分解分母，拆分为简单分式 |
| sinn(x)cosm(x)，m 奇 | 留 cos(x) 换元 | u = sin(x) |
| sinn(x)cosm(x)，n 奇 | 留 sin(x) 换元 | u = cos(x) |
| sinn(x)cosm(x)，全偶 | 降幂公式 | sin²(x)=(1−cos2x)/2 |
| √(a²−x²) | 三角换元 | x = a sin(θ) |
| √(a²+x²) | 三角换元 | x = a tan(θ) |
| √(x²−a²) | 三角换元 | x = a sec(θ) |
椭圆轨道面积（开普勒定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆。计算椭圆面积 A = πab 需要用到三角换元 x = a sin(θ)。开普勒第二定律（等面积定律）指出行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积，这直接依赖于椭圆积分的计算。
交流电的平均功率：家庭用电是交流电，电压和电流都是正弦函数。平均功率 P = (1/T)∫[0,T] V(t)I(t)dt 的计算需要将 sin(ωt)sin(ωt+φ) 用积化和差公式转化为简单三角函数后积分，这是电力系统分析的基础。
悬链线（悬索桥）：悬挂在两塔之间的电缆形状由双曲余弦函数描述：y = a cosh(x/a)。计算电缆长度需要积分 ∫√(1+y'²)dx，这恰好用到双曲函数的恒等式 cosh²(x) - sinh²(x) = 1 来化简。金门大桥、港珠澳大桥的设计都涉及此类计算。
求 ∫sin²(x)cos³(x) dx
第一步：分析幂次
sin 的幂 n = 2（偶数），cos 的幂 m = 3（奇数）。根据策略，m 为奇数时应留一个 cos(x)，其余化为 sin(x)。
第二步：拆分并化简
利用 cos²(x) = 1 − sin²(x) 将 cos²(x) 转化为 sin(x) 的表达式。
第三步：展开并换元
令 u = sin(x)，则 du = cos(x)dx：
第四步：积分并回代
求 ∫sin4(x) dx
第一步：分析幂次
sin 的幂 n = 4（偶数），没有 cos 的因子。根据策略，m 和 n 都为偶数时使用降幂公式。
第二步：第一次降幂
第三步：对 cos²(2x) 再次降幂
代入得：
第四步：逐项积分
求 ∫1/√(4−x²) dx
第一步：识别根式类型
被积函数含 √(4−x²) = √(2²−x²)，属于 a²−x² 型，其中 a = 2。
选择替换：x = 2sin(θ)。
第二步：计算 dx 并代入
代入原积分：
第三步：回代 x
由 x = 2sin(θ) 得 sin(θ) = x/2，因此 θ = arcsin(x/2)。
画直角三角形验证：斜边 = 2，对边 = x，邻边 = √(4−x²)，则 sin(θ) = x/2。
第四步：写出最终结果
求 ∫1/(x²+4) dx
第一步：识别形式
被积函数含 x²+4 = x²+2²，属于 a²+x² 型，其中 a = 2。
选择替换：x = 2tan(θ)。
第二步：计算 dx 并代入
代入原积分：
第三步：回代 x
由 x = 2tan(θ) 得 tan(θ) = x/2，因此 θ = arctan(x/2)。
画直角三角形验证：邻边 = 2，对边 = x，斜边 = √(x²+4)，则 tan(θ) = x/2。
第四步：写出最终结果
以下 MATLAB 代码帮助你可视化三角换元的几何关系，并验证本章例题的积分结果。