普林斯顿微积分读本 · 第十三章
从求和到面积——积分的直觉
求和符号 Σ（大写希腊字母 Sigma）是数学中表示"连续相加"的简洁记法。它为定积分的定义提供了必要的语言基础——积分本质上就是"无限多个无穷小量的求和"。
其中 i 称为求和指标（dummy variable，哑变量），m 是下限，n 是上限。求和指标用什么字母表示无关紧要——Σi=13 i 和 Σk=13 k 的结果完全相同。
| 性质 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 常数倍 | Σ c · ai = c · Σ ai | 常数可以提到求和符号外面 |
| 和的求和 | Σ(ai + bi) = Σ ai + Σ bi | 求和分配律 |
| 分裂求和 | Σi=mn ai = Σi=mp ai + Σi=p+1n ai | 求和可以拆分为两段 |
| 平移指标 | Σi=mn ai = Σj=m+kn+k aj-k | 令 j = i + k |
以下三个公式在计算黎曼和时反复出现，必须牢记：
这些求和公式不是凭空出现的。它们是离散版本的"幂函数积分"公式。当我们用黎曼和逼近 ∫xpdx 时，最终会化简为这些求和公式再取极限。可以说，掌握求和技巧是理解定积分的第一步。
积分的物理直觉来源于一个简单而深刻的观察：速度-时间图中的面积等于位移。
如果一个物体以恒定速度 v 运动，在时间 t 内的位移是 d = v × t。在速度-时间图上，这恰好是以 v 为高、t 为底的矩形面积。
当速度随时间变化时，速度-时间图不再是矩形，而是一条曲线。此时，位移等于曲线下方的面积。这个观察是整个积分学的出发点。
在速度-时间图中，x 轴上方（速度为正）的面积表示正向位移，x 轴下方（速度为负）的面积表示反向位移。总位移 = 正面积 - 负面积。但总路程 = 正面积 + 负面积（路程始终为正）。
一个物体先以 3 m/s 向右运动 2 秒，再以 2 m/s 向左运动 1 秒。
正面积 = 3 × 2 = 6（向右位移 6m）
负面积 = 2 × 1 = 2（向左位移 2m）
虽然我们从速度和位移出发，但同样的思想适用于任何函数。∫ab f(x)dx 可以理解为"函数值累积的效果"——在物理中是位移，在几何中是面积，在概率中是概率值，在经济学中是总收益。积分是一种统一的"累积"工具。
定积分是微积分中最重要的概念之一。它的定义建立在"用矩形面积之和逼近曲线下方面积"的思想之上。
给定函数 f(x) 和区间 [a, b]，我们按以下步骤构造黎曼和：
根据取样点 xi* 的选取方式，黎曼和有几种常见变体：
| 类型 | 取样点 | 特点 |
|---|---|---|
| 左黎曼和 | xi* = xi-1（左端点） | 矩形高度取左端点函数值；若 f 递增则低估 |
| 右黎曼和 | xi* = xi（右端点） | 矩形高度取右端点函数值；若 f 递增则高估 |
| 中点黎曼和 | xi* = (xi-1 + xi) / 2 | 通常比左/右黎曼和更精确 |
对于有界函数 f(x)，在每个子区间上取最大值 Mi 和最小值 mi：
当 n → ∞ 时，上和与下和趋于同一个极限，这个公共极限就是定积分的值。
想象你用一堆竖直的矩形去"铺满"曲线下方的区域。矩形越多越窄，铺得越紧密，矩形面积之和就越接近曲线下方的真实面积。当矩形变得无限窄时，误差消失，和的极限就是精确的面积。
位移与路程：物体的速度 v(t) 对时间积分得到位移 Δx = ∫v(t)dt。若 v(t) 有正有负，积分结果是净位移；取 |v(t)| 的积分则是总路程。GPS 导航通过积分速度信号计算行驶距离。
水坝承受的总压力：水坝不同深度 h 处的水压 P = ρgh。总压力 F = ∫P(h)dA = ∫ρgh · w(h)dh，其中 w(h) 是坝体在深度 h 处的宽度。工程师通过积分计算水坝需要承受的总水压力，设计坝体结构。
变力做功：弹簧的弹力 F(x) = kx 随位移变化。将弹簧从 x₁ 拉伸到 x₂ 所做的功 W = ∫x₁x₂kx dx = (1/2)k(x₂² - x₁²)。这是机械能守恒和势能定义的基础。
质心计算：不均匀细杆的质心位置 x̄ = (∫x · ρ(x)dx)/(∫ρ(x)dx)，其中 ρ(x) 是线密度。积分用于确定飞机、船舶和航天器的重心位置，确保飞行和航行的稳定性。
定积分有一组重要的性质，它们使得我们可以将复杂的积分拆解为简单的部分，并建立积分之间的不等式关系。
常数可以自由地提到积分号外面，两个函数之和的积分等于积分之和。这意味着我们可以逐项积分多项式。
积分可以在任意中间点 b 处"断开"。这个性质在计算分段函数的积分时特别有用。
大函数的积分也大。特别地，若 f(x) ≥ 0，则 ∫ f(x)dx ≥ 0。
若 f(x) 在 [a, b] 上的最小值为 m，最大值为 M，则：
直觉上：如果函数值始终在 m 和 M 之间，那么曲线下方的面积一定在"最小矩形"和"最大矩形"之间。
线性性是积分计算中最常用的性质。它意味着我们不需要对复杂的表达式整体求积分——只需对每一项分别积分，再把结果相加。这正是我们能够轻松计算多项式积分的原因。
定积分 ∫ab f(x)dx 给出的是有向面积（signed area），即 x 轴上方的面积减去 x 轴下方的面积。但在几何问题中，我们通常需要的是实际面积（总是非负的）。
当函数在区间内穿过 x 轴时，必须将积分分段，使每一段内函数不改变符号，然后对每一段取绝对值再求和。
学生最容易犯的错误是直接用 ∫ f(x)dx 求面积，而忽略了函数在 x 轴下方的情况。如果 f(x) 在 [a, b] 上有正有负，∫ f(x)dx 会"正负抵消"，得到的不是真正的面积。
若在 [a, b] 上 f(x) ≥ g(x)，则两条曲线之间的面积为：
直觉上：在每个 x 处，两条曲线之间的"竖直距离"是 f(x) - g(x)，将这些距离沿 x 轴"累积"起来就是面积。
想象你站在两条曲线之间，用一把尺子测量每个 x 处的竖直距离，然后把所有这些"窄条"拼起来。每条窄条的宽度是 dx，高度是 f(x) - g(x)，面积就是 f(x) - g(x) 乘以 dx 的总和——这正是积分。
我们熟悉 n 个数的平均值是它们的和除以 n。积分将这个概念推广到连续函数——一个函数在区间 [a, b] 上的"平均值"定义为：
平均值 favg 是这样一个高度：以 favg 为高、(b - a) 为底的矩形面积，恰好等于曲线下方的面积。换句话说，favg 是函数值的"水平化"——把所有高低起伏"抹平"后得到的高度。
积分中值定理告诉我们：连续函数在区间上至少会"达到"它的平均值一次。这与"一组数中至少有一个数不小于平均值"的离散版本完全对应。
微分中值定理说的是"至少存在一点，切线斜率等于割线斜率"（导数的平均值），而积分中值定理说的是"至少存在一点，函数值等于函数的平均值"（函数值的平均）。两者是"平均"概念在微分和积分两个方向的体现。
想象你记录了一天的气温变化曲线。这一天 24 小时的"平均温度"就是温度曲线对时间的积分除以 24。积分中值定理保证：这一天中至少有一个时刻的实际温度恰好等于平均温度。
求 ∫02 x²dx 的黎曼和近似值（n = 4）。
第一步：确定分割
Δx = (2 - 0) / 4 = 0.5，分点为 x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, x4 = 2
第二步：左黎曼和
第三步：右黎曼和
第四步：中点黎曼和
第五步：精确值对比
中点黎曼和 2.625 最接近精确值 2.667，误差仅为 1.6%。
求 ∫01 (3x² - 2x + 1)dx
第一步：利用线性性逐项积分
第二步：分别计算每项
第三步：合并结果
求曲线 y = x² 和 y = x 所围区域的面积。
第一步：求交点
第二步：确定上下关系
在 [0, 1] 上，x ≥ x²（因为 0 ≤ x ≤ 1 时 x² ≤ x），所以 y = x 是上曲线，y = x² 是下曲线。
第三步：计算面积
求 f(x) = sin(x) 在区间 [0, π] 上的平均值。
第一步：应用平均值公式
第二步：计算积分
第三步：求平均值
第四步：验证积分中值定理
由积分中值定理，存在 c ∈ (0, π) 使得 sin(c) = 2/π。
解 sin(c) = 2/π ≈ 0.6366，得 c = arcsin(2/π) ≈ 0.6901 ∈ (0, π)，验证成立。
以下 MATLAB 代码帮助你可视化黎曼和逼近过程、n 增大时的收敛动画，以及两条曲线之间的面积。