量化不确定性：用区间估计表达我们对总体参数的置信程度
点估计用一个数值估计总体参数，如用样本均值 X̄ 估计总体均值 μ。但点估计没有告诉我们估计的可靠性——X̄ = 50 可能非常精确，也可能偏差很大。
区间估计给出一个范围，并附带置信水平，表达"我们有多大把握认为总体参数落在这个范围内"。
95% 置信区间不是说"总体参数有 95% 的概率落在这个区间内"（参数是固定常数，不是随机变量），而是说"如果我们重复抽样100次，大约有95次计算出的区间会包含真实参数"。
置信水平（Confidence Level）1-α 表示区间包含总体参数的长期频率。常用 90%（α=0.10）、95%（α=0.05）、99%（α=0.01）。
置信水平越高，区间越宽。99% 置信区间比 95% 更"保守"——更可能包含真实值，但信息量更少。
当总体服从正态分布且 σ 已知时，利用 Z 统计量构建置信区间：
其中 zα/2 是标准正态分布的上 α/2 分位数。例如 95% 置信水平对应 z0.025 = 1.96。
现实中 σ 通常未知，需用样本标准差 s 估计。此时标准化统计量服从 t 分布而非正态分布：
t 分布比正态分布更"扁平"，尾部更厚，反映了用 s 估计 σ 带来的额外不确定性。当 n > 30 时，t 分布接近标准正态。
用 t 分布的分位数 tα/2, n-1 代替 zα/2：
估计总体比例 p 时，样本比例 p̂ = X/n。当 np̂ ≥ 10 且 n(1-p̂) ≥ 10 时，可用正态近似：
置信区间的宽度与 √n 成反比。要缩小一半宽度，样本量需增加为4倍。这再次体现了"边际收益递减"的规律。
| 参数 | 条件 | 置信区间公式 |
|---|---|---|
| 均值 μ | σ 已知 | X̄ ± zα/2 · σ/√n |
| 均值 μ | σ 未知 | X̄ ± tα/2, n-1 · s/√n |
| 比例 p | 大样本 | p̂ ± zα/2 · √(p̂(1-p̂)/n) |
自由度 df = n - 1 = 15，置信水平 95%，查 t 表得 t0.025,15 = 2.131。相比 z0.025 = 1.96，t 分位数更大，区间更宽，体现了小样本的不确定性。
给定期望的区间半宽 E（Margin of Error），均值估计所需样本量：
若 σ 未知，可先进行小样本预实验估计 s，或使用保守估计。
测试 20 台 LED 灯管的平均寿命为 5200 小时，样本标准差 300 小时。构建 95% 置信区间可告知客户：我们有 95% 的把握认为该型号的真实平均寿命在 [5059, 5341] 小时内。这比单纯报告"5200小时"更具信息量。
调查 1000 名消费者，其中 23% 偏好某品牌。95% 置信区间为 23% ± 1.96×√(0.23×0.77/1000) = 23% ± 2.6%，即 [20.4%, 25.6%]。这帮助管理层判断市场定位是否达到 25% 的目标。
新药治疗组相比安慰剂组的血压平均降低 15 mmHg，95% CI 为 [8, 22]。区间不包含 0 表明疗效显著；若区间为 [-2, 32]，则无法确认疗效，需扩大样本量。
传感器标定实验中，重复测量 10 次得到输出电压均值 2.50 V，标准差 0.05 V。95% t 区间为 [2.46, 2.54] V。工程师据此设定仪表量程和报警阈值，避免将测量噪声误判为真实信号。
某钢材抗拉强度已知服从正态分布，σ = 20 MPa。现抽取 25 根测试，平均抗拉强度 X̄ = 450 MPa。求 95% 置信区间。
σ 已知，使用 Z 区间。z0.025 = 1.96
SE = σ/√n = 20/5 = 4 MPa
边际误差 E = 1.96 × 4 = 7.84 MPa
95% CI = [450 - 7.84, 450 + 7.84] = [442.16, 457.84] MPa
某新型电池续航测试：n = 16，X̄ = 320 分钟，s = 24 分钟。假设总体近似正态，求 95% 置信区间。
σ 未知，使用 t 区间。df = 16 - 1 = 15
查 t 表：t0.025,15 = 2.131
SE = s/√n = 24/4 = 6 分钟
边际误差 E = 2.131 × 6 = 12.79 分钟
95% CI = [320 - 12.79, 320 + 12.79] = [307.21, 332.79] 分钟
注意：若误用 z = 1.96，则 E = 11.76，区间偏窄，过于乐观。
在 500 名用户的 A/B 测试中，新界面获得 215 次点击。求点击率的 95% 置信区间。
样本比例 p̂ = 215/500 = 0.43
验证：np̂ = 215 ≥ 10，n(1-p̂) = 285 ≥ 10，正态近似适用
SE = √(0.43×0.57/500) = √0.0004902 ≈ 0.0221
E = 1.96 × 0.0221 ≈ 0.0433
95% CI = [0.43 - 0.043, 0.43 + 0.043] = [0.387, 0.473]
即真实点击率有 95% 把握在 38.7% ~ 47.3% 之间。
某工厂要估计产品平均重量，要求 95% 置信水平下区间半宽不超过 2 g。根据以往数据，σ ≈ 8 g。至少需要抽取多少件？
n = (zα/2 · σ / E)² = (1.96 × 8 / 2)² = (7.84)² = 61.47
向上取整，至少需要 62 件。
若要求更严格的 99% 置信（z = 2.576），则 n = (2.576×8/2)² = 106.2，需 107 件。
MATLAB 提供了 tinv、norminv 等函数用于分位数计算，也可直接用 ttest 输出置信区间。