普林斯顿微积分读本 · 第十八章
用无限多个简单项表示复杂函数
无穷级数（Infinite Series）是将无穷多个数按照一定规律相加的表达式。它是微积分中最重要的工具之一，使我们能够用简单的多项式来逼近复杂的函数。
给定一个数列 {an}，其无穷级数记为：
前 n 项的和称为第 n 个部分和（partial sum）：
无穷级数的和定义为部分和序列的极限：
| 情形 | 条件 | 含义 |
|---|---|---|
| 级数收敛 | lim(n→∞) Sn 存在（有限值） | 无穷多项的"总和"有意义，等于该极限值 |
| 级数发散 | lim(n→∞) Sn 不存在（趋于∞、-∞或振荡） | 无穷多项的"总和"无意义 |
无穷级数的核心思想是"无限分割、无限累加"。就像用无穷多个越来越小的矩形面积来逼近曲线下的面积（定积分），无穷级数则是用无穷多个越来越小的项来逼近一个有限的值。关键在于：这些项必须"足够快地"趋于零，才能使总和收敛到一个有限值。
几何级数（Geometric Series）是最基本、最重要的无穷级数之一。它的每一项与前一项的比值是一个常数 r（称为公比）。
当 |r| ≥ 1 时，几何级数发散。
设 S = 1 + r + r² + r³ + ···，则：
| 领域 | 应用 | 说明 |
|---|---|---|
| 循环小数 | 0.333... = 3/10 + 3/100 + ··· = 3/9 = 1/3 | 将循环小数表示为几何级数求和 |
| 概率论 | 几何分布的期望值计算 | 首次成功所需的试验次数 |
| 经济学 | 永续年金的现值 | 每年支付 C 的永续年金现值 = C/r |
| 物理学 | 多次反射的光强衰减 | 每次反射保留 r 倍的光强 |
当 |r| 越接近 0，部分和收敛到极限值 1/(1-r) 的速度越快；当 |r| 越接近 1，收敛速度越慢。例如 r = 0.9 时，需要约 44 项才能使误差小于 0.01，而 r = 0.3 时只需约 4 项。
判断一个无穷级数是否收敛是分析中的核心问题。以下是几种最常用的收敛判别法。
对于级数 Σan，计算：
| L 的值 | 结论 |
|---|---|
| L < 1 | 级数绝对收敛 |
| L > 1 | 级数发散 |
| L = 1 | 不确定，需要其他判别法 |
比值判别法特别适用于通项中含有阶乘 n! 或指数 rn 的级数，因为相邻两项的比值往往能大幅简化。例如 Σn!/nn，比值中阶乘和幂次会大量约去。
判断规则与比值判别法完全相同：L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 不确定。根值判别法在通项含有 n 次幂时特别有效。
如果 an = f(n)，其中 f(x) 是连续、正、递减函数，则：
积分判别法的直觉是：级数的求和本质上是积分的"离散版本"，积分的收敛性与级数的收敛性一致。
| p 的值 | 结论 | 经典例子 |
|---|---|---|
| p > 1 | 收敛 | Σ1/n² = π²/6（巴塞尔问题） |
| p ≤ 1 | 发散 | Σ1/n（调和级数，发散） |
级数是否收敛，取决于"项趋于零的速度"是否足够快。调和级数 1/n 的项趋于零，但"不够快"——就像一个人每天走剩余路程的一半，永远到不了终点。而 1/n² 的项趋于零的速度"足够快"，总和是有限的。比值判别法和根值判别法本质上就是在量化这种"趋于零的速度"。
泰勒级数（Taylor Series）是微积分中最优美的结果之一：它告诉我们，任何（足够光滑的）函数都可以表示为无穷多项式的和。这意味着我们可以用简单的多项式运算来近似计算复杂的超越函数。
函数 f(x) 在点 x = a 处的泰勒级数为：
其中 f(n)(a) 表示 f 在 a 点的 n 阶导数，n! = n × (n-1) × ··· × 2 × 1 是 n 的阶乘。
当展开点 a = 0 时，泰勒级数称为麦克劳林级数（Maclaurin Series）。以下是几个最重要的麦克劳林级数：
| 函数 | 麦克劳林级数 | 收敛域 |
|---|---|---|
| ex | 1 + x + x²/2! + x³/3! + x4/4! + ··· | 一切实数 x |
| sin(x) | x - x³/3! + x5/5! - x7/7! + ··· | 一切实数 x |
| cos(x) | 1 - x²/2! + x4/4! - x6/6! + ··· | 一切实数 x |
| ln(1+x) | x - x²/2 + x³/3 - x4/4 + ··· | |x| < 1 |
| 1/(1-x) | 1 + x + x² + x³ + ··· | |x| < 1 |
泰勒级数并非对所有 x 都收敛。它有一个收敛半径 R：
收敛半径的求法将在 18.5 节详细讨论。
泰勒级数的实际威力在于：截取前 N 项（泰勒多项式），就能得到 f(x) 的高精度近似值。截取得越多，近似越精确。
截断误差（余项）为：
泰勒级数告诉我们：看似复杂的超越函数（如 ex、sin(x)、cos(x)）本质上只是"无穷多项式"。这就是为什么科学计算器能够计算 sin(0.1) 的值——它并不是真的"测量"角度，而是用泰勒多项式进行数值计算。泰勒级数是连接"代数世界"和"分析世界"的桥梁。
幂级数（Power Series）是泰勒级数的推广形式，它不要求系数必须是某个函数的导数值，而允许任意系数 cn。
其中 a 是展开中心，cn 是系数。泰勒级数是幂级数的特例，其中 cn = f(n)(a)/n!。
使用比值判别法可以求收敛半径 R：
如果这个极限存在，则幂级数在 |x - a| < R 时收敛，在 |x - a| > R 时发散。
幂级数在收敛区间内可以逐项求导和逐项积分：
逐项求导和逐项积分不改变收敛半径（但端点的收敛性可能改变）。
幂级数的逐项求导和逐项积分为我们提供了一种"绕过"直接计算的方法。例如，我们知道 1/(1-x) = 1 + x + x² + ···，对其逐项积分就得到 ln(1-x) 的级数展开，逐项求导就得到 1/(1-x)² 的级数展开。这种"已知推未知"的能力是幂级数最重要的应用之一。
1. 离散傅里叶变换（DFT/FFT）：信号处理的核心算法 FFT 本质上是将信号分解为复指数级数（傅里叶级数的离散形式）。JPEG 图像压缩、MP3 音频编码、5G 通信的 OFDM 调制都依赖这一思想——将复杂信号表示为简单正弦波的叠加。
2. 数值计算与函数逼近：计算器中的 sin(x)、eˣ、ln(x) 并非存储完整函数表，而是用泰勒级数或切比雪夫多项式逼近。例如 eˣ ≈ 1 + x + x²/2! + x³/3! + ···，取前 10 项即可在 [−1,1] 达到机器精度（10⁻¹⁶）。
3. 金融数学中的年金计算：永续年金现值 PV = C/r 是等比级数求和；增长型年金 PV = C/(r−g) 也是级数结果。这些公式直接来自 Σ(1+g)ⁿ/(1+r)ⁿ 的收敛性分析，决定了投资决策中"何时项目值得投资"的临界点。
4. 误差分析与算法收敛：在数值分析中，迭代算法的误差常表示为级数。例如牛顿迭代法的误差 eₙ₊₁ ≈ Ceₙ²，通过级数展开可以证明其二次收敛速度。有限元方法的解也常用泰勒展开估计截断误差，指导网格加密策略。
5. 微分方程的级数解法：许多物理方程（如量子力学的薛定谔方程、天体力学的摄动方程）没有初等解，但假设解为幂级数 Σaₙxⁿ 代入后，可递推求出系数。氢原子能级的量子化条件就是这样从级数收敛性中自然涌现的。
判断级数 Σn=1∞ 1/n² = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ··· 是否收敛。
第一步：识别级数类型
这是一个 p 级数 Σ1/np，其中 p = 2。
第二步：应用 p 级数判别法
根据 p 级数判别法：当 p > 1 时，Σ1/np 收敛。
第三步：验证第 n 项检验
第 n 项趋于零，满足收敛的必要条件（但不充分）。
补充：精确值
欧拉在 1734 年证明了这一级数的精确值（巴塞尔问题）：
判断级数 Σn=1∞ n!/nn 是否收敛。
第一步：选择判别法
通项含有阶乘 n!，优先使用比值判别法。
第二步：计算比值
第三步：取极限
令 m = n+1，则：
利用 lim(1 - 1/m)-m = e，以及指数 -(m-1)/m → -1：
第四步：得出结论
求函数 f(x) = ex 的麦克劳林级数展开。
第一步：计算各阶导数
第二步：代入泰勒公式
第三步：确定收敛半径
收敛半径 R = ∞，级数对所有实数 x 都收敛。
用泰勒级数估计 sin(0.1)，精确到小数点后 6 位。
第一步：写出 sin(x) 的麦克劳林级数
第二步：代入 x = 0.1，逐项计算
第三步：累加并判断精度
第4项的量级约为 2 × 10-11，远小于 10-6，因此前 3 项已足够精确。
第四步：用余项公式验证
取 N = 2（即前 3 项），余项：
精度远超要求。
求幂级数 Σn=0∞ xn/n! 的收敛半径。
第一步：识别系数
第二步：用公式求收敛半径
第三步：用比值判别法验证
比值极限为 0（小于 1），无论 x 取何值，级数都收敛。
补充：识别函数
这个级数正是 ex 的麦克劳林级数：
以下 MATLAB 代码帮助你可视化几何级数部分和收敛、泰勒多项式逼近以及收敛半径。