普林斯顿微积分读本 · 第七章
三角微积分的核心工具
三角函数的极限是微积分中最重要的基础极限之一。其中最核心的结果是：
这个极限的成立有一个关键前提：x 必须以弧度为单位。如果使用角度制，这个极限将等于 π/180，公式会变得非常复杂。这也是数学和物理中统一使用弧度制的原因。
考虑单位圆上弧长为 x（弧度）的扇形区域。通过比较三角形和扇形的面积，可以建立不等式：
取倒数并变形后得到 cos(x) ≤ sin(x)/x ≤ 1。当 x → 0+ 时，cos(x) → 1，由夹逼定理可得 sin(x)/x → 1。对于 x → 0-，利用 sin(x)/x 是偶函数，结论同样成立。
推论1：
证明：将分子有理化，(1 - cos(x))/x = (1 - cos²(x)) / [x(1 + cos(x))] = sin²(x) / [x(1 + cos(x))] = sin(x)/x · sin(x)/(1 + cos(x))。当 x → 0 时，sin(x)/x → 1，sin(x) → 0，1 + cos(x) → 2，所以整体 → 0。
推论2：
证明：tan(x)/x = sin(x)/(x cos(x)) = [sin(x)/x] · [1/cos(x)]。当 x → 0 时，sin(x)/x → 1，cos(x) → 1，所以 tan(x)/x → 1。
1. 小角度情况（x → 0）：将角度化为弧度，直接利用 sin(x)/x → 1 和 (1-cos(x))/x → 0 这两个基本极限。注意通过变量替换处理 sin(kx)/x 这类形式。
2. 大角度情况：利用三角函数的周期性（周期为 2π），将角度化简到 [-π, π] 范围内，再进一步处理。
3. 其他情况：利用三角恒等式（和差化积、倍角公式、半角公式等）进行变形，将问题转化为上述两种情况。
lim(x→0) sin(x)/x = 1 只有在弧度制下才成立。这是因为弧度的定义直接来自弧长与半径的比值，而弧长可以用积分精确计算。如果使用角度制，这个极限将等于 π/180 ≈ 0.01745，所有三角函数的导数公式都会多出一个常数因子，极大地增加复杂性。
有了 7.1 节中的基本极限，我们就可以严格推导所有三角函数的导数公式。这些公式是三角微积分的核心工具。
利用导数的极限定义和和差化积公式：
第一步：写出极限定义
第二步：应用和差化积公式
第三步：代入并变形
第四步：取极限
d/dx cos(x) = -sin(x)
推导方法与 sin(x) 类似，利用和差化积 cos(x+h) - cos(x) = -2 sin(x + h/2) sin(h/2)，最终得到 -sin(x)。
d/dx tan(x) = sec²(x)
利用商法则：tan(x) = sin(x)/cos(x)，所以
d/dx sec(x) = sec(x)tan(x)
sec(x) = 1/cos(x)，利用商法则求导得 sin(x)/cos²(x) = sec(x)tan(x)。
d/dx csc(x) = -csc(x)cot(x)
csc(x) = 1/sin(x)，利用商法则求导得 -cos(x)/sin²(x) = -csc(x)cot(x)。
d/dx cot(x) = -csc²(x)
cot(x) = cos(x)/sin(x)，利用商法则求导得 -[cos²(x) + sin²(x)]/sin²(x) = -1/sin²(x) = -csc²(x)。
| 函数 f(x) | 导数 f'(x) | 推导方法 |
|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | 极限定义 + 和差化积 |
| cos(x) | -sin(x) | 极限定义 + 和差化积 |
| tan(x) | sec²(x) | 商法则 |
| cot(x) | -csc²(x) | 商法则 |
| sec(x) | sec(x)tan(x) | 商法则 |
| csc(x) | -csc(x)cot(x) | 商法则 |
sin 和 cos 的导数形成四步循环：sin → cos → -sin → -cos → sin。每求一次导，就沿循环前进一步。
对于 sec、csc、tan、cot，记住一个规律："余函数"的导数带负号。cos 是 sin 的余函数，cos 的导数 -sin 带负号；cot 是 tan 的余函数，cot 的导数 -csc²(x) 带负号；csc 是 sec 的余函数，csc 的导数 -csc(x)cot(x) 带负号。
sin(x) 的导数是 cos(x)，这意味着：在 sin(x) 值增长最快的地方（过零点），cos(x) 的值最大（±1）；在 sin(x) 达到极值的地方（波峰或波谷），cos(x) = 0。导数描述的是函数图像的切线斜率，这完美解释了为什么正弦曲线在波峰和波谷处是水平的。
简谐振子（弹簧与单摆）：弹簧振子的位移 x(t) = A cos(ωt + φ)。速度 v(t) = dx/dt = -Aω sin(ωt + φ)，加速度 a(t) = dv/dt = -ω²x(t)。加速度与位移成正比且反向，这是简谐运动的定义特征。
交流电路的相位分析：在 RLC 电路中，电感电压超前电流 90°，电容电压滞后电流 90°。利用三角函数导数关系，工程师可以分析各元件上的电压相位差，设计滤波器和阻抗匹配网络。
电磁波传播：电磁波的电场 E(t) = E₀ sin(ωt) 和磁场 B(t) = B₀ sin(ωt + π/2) 存在 90° 相位差。麦克斯韦方程组通过导数关系将电场和磁场耦合在一起，预言了电磁波的存在。
声音共振：管乐器中的空气柱振动形成驻波。管长与声波波长的关系由三角函数的边界条件决定，导数分析揭示了共振频率与管长的精确关系。
简谐运动（Simple Harmonic Motion, SHM）是三角函数导数最经典的物理应用。弹簧振子、单摆（小角度）、LC 电路等都是简谐运动的实例。
其中 A 是振幅（最大位移），ω 是角频率（ω = 2πf，f 为频率），φ 是初相位。
对位移求一阶导数：
对速度再求一阶导数（即位移的二阶导数）：
加速度与位移成正比，方向相反。这是简谐运动的定义特征。当物体偏离平衡位置越远，回复力越大，加速度也越大。负号表示加速度始终指向平衡位置。
周期 T = 2π/ω （完成一次完整振动所需的时间）
频率 f = ω/(2π) = 1/T （每秒振动的次数）
最大速度 vmax = Aω （在平衡位置处达到）
最大加速度 amax = Aω² （在最大位移处达到）
位移 x(t) = A cos(ωt + φ) 是余弦函数；速度 v(t) = -Aω sin(ωt + φ) = Aω cos(ωt + φ + π/2) 比位移超前 π/2（即 90°）；加速度 a(t) = -Aω² cos(ωt + φ) = Aω² cos(ωt + φ + π) 比位移超前 π（即 180°，反相）。这意味着：速度达到最大值时位移为零，加速度达到最大值时速度为零。
求 lim(x→0) sin(3x)/(5x)
第一步：凑出 sin(口)/口 的形式
第二步：利用基本极限
令 u = 3x，当 x→0 时 u→0，所以 sin(3x)/(3x) = sin(u)/u → 1
第三步：得出结果
求 lim(x→0) (1-cos(2x))/x²
方法一：利用半角公式
方法二：利用洛必达法则
求 f'(x)，其中 f(x) = x²sin(x)
第一步：识别求导法则
这是两个函数的乘积，需要使用乘积法则：(fg)' = f'g + fg'
第二步：分别求导
令 u = x²，v = sin(x)
u' = 2x，v' = cos(x)
第三步：应用乘积法则
求 f'(x)，其中 f(x) = sin²(x)
方法一：链式法则
将 f(x) 看作复合函数 [sin(x)]²，外层 u²，内层 sin(x)
方法二：降幂公式
利用半角公式 sin²(x) = (1 - cos(2x))/2
两种方法得到完全相同的结果 sin(2x)，这验证了计算的准确性。方法一直接快捷，方法二利用三角恒等式变形，在某些情况下可能更方便。灵活选择方法是解题效率的关键。
以下 MATLAB 代码帮助你可视化三角函数的极限和导数。运行这些代码，直观感受 sin(x)/x 趋近于 1 的过程以及简谐运动的物理图像。