普林斯顿微积分读本 · 第五章
连续是一笔画完，可导是光滑无尖角
连续性是微积分中最基本的概念之一。直观地说，一个函数在某点连续，意味着它的图像在该点没有"断裂"——你可以不抬笔地一笔画过该点。
函数 f(x) 在 x = a 处连续，需要同时满足以下三个条件：
三个条件缺一不可。任何一个不满足，函数在该点就不连续。
如果函数 f 在开区间 (a, b) 内的每一点都连续，则称 f 在 (a, b) 上连续。对于闭区间 [a, b]，还需要在端点处满足单侧连续：
以下函数在其定义域内都是连续的：
| 函数类型 | 连续性 | 说明 |
|---|---|---|
| 多项式函数 | 在 (-∞, +∞) 上连续 | 如 x² + 3x - 1 |
| sin(x), cos(x) | 在 (-∞, +∞) 上连续 | 三角函数的"平滑"本质 |
| ex | 在 (-∞, +∞) 上连续 | 指数函数永远光滑 |
| √x | 在 [0, +∞) 上连续 | 根号函数在其定义域内连续 |
| 有理函数 P(x)/Q(x) | 在分母不为零处连续 | 间断点仅在 Q(x) = 0 处 |
当函数在某点不连续时，我们称之为间断点（discontinuity）。间断点分为以下四类：
极限存在，但函数值不等于极限（或函数在该点无定义）。之所以叫"可去"，是因为我们可以重新定义或补充定义该点的函数值，使函数变得连续。
左右极限都存在，但不相等。函数图像在该点有一个"台阶"或"跳跃"。
至少一侧的极限趋向无穷大。函数图像在该点有垂直渐近线。
函数在某点附近无限振荡，极限不存在。经典例子是 sin(1/x) 在 x → 0。
| 间断类型 | 左极限 | 右极限 | 能否"修复" | 典型例子 |
|---|---|---|---|---|
| 可去间断 | 存在且 = 右极限 | 存在且 = 左极限 | 能（补充定义） | (x²-1)/(x-1) 在 x=1 |
| 跳跃间断 | 存在（有限） | 存在（有限），但不等于左极限 | 不能 | 分段函数在分界点 |
| 无穷间断 | ±∞ | ±∞ | 不能 | 1/x 在 x=0 |
| 振荡间断 | 不存在 | 不存在 | 不能 | sin(1/x) 在 x=0 |
如果 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f(a) ≠ f(b)，那么对于 f(a) 和 f(b) 之间的任意值 L，至少存在一个 c ∈ (a, b) 使得 f(c) = L。
介值定理的直觉非常简单：如果一个连续函数从某个值"变"到另一个值，它必须经过中间的所有值。就像温度从 10 度升到 20 度，它必然在某个时刻恰好是 15 度。
想象你开车从海拔 100 米的山谷开到海拔 500 米的山顶。不管你走什么路线，只要你一直在路上（连续），你就一定会经过海拔 200 米、300 米、400 米的每一个高度。这就是介值定理的核心思想。
如果 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，那么 f 在 [a, b] 上一定能取到最大值和最小值。即存在 c, d ∈ [a, b]，使得对所有 x ∈ [a, b]：
f(d) ≤ f(x) ≤ f(c)
注意两个关键条件：闭区间和连续。缺一不可。例如 1/x 在 (0, 1] 上连续，但没有最大值（趋向无穷）。f(x) = x 在 (0, 1) 上连续，但既没有最大值也没有最小值。
极值定理保证了闭区间上的连续函数不会"无限增长"或"无限振荡"。它为后续的优化问题（求最大值和最小值）奠定了理论基础。在工程和经济学中，许多问题本质上就是在闭区间上求连续函数的极值。
机械系统中的连续运动：机器人关节的轨迹规划要求位置、速度和加速度都连续，以避免机械冲击和振动。CNC 机床的刀具路径必须是光滑连续曲线，确保加工表面质量。
材料断裂点（不连续）：材料在断裂点处应力-应变曲线出现不连续（跳跃）。工程师通过分析这种不连续性，确定材料的极限强度和断裂韧性，为结构设计提供安全裕度。
机器人路径规划中的光滑曲线：自动驾驶汽车和无人机的路径规划要求曲率连续（C² 连续），即位置和方向的变化都平滑。贝塞尔曲线和样条插值保证了路径的可导性，避免急转弯。
桥梁挠度分析：连续梁的挠度曲线在支座处必须连续且可导。如果挠度不连续，意味着梁发生断裂；如果导数不连续，意味着转角突变，会产生应力集中。
可导性描述的是函数在某点是否有一个确定的"变化率"。几何上，可导意味着曲线在该点有一条确定的切线。
函数 f(x) 在 x = a 处的导数定义为：
如果这个极限存在且有限，则称 f 在 a 处可导。
这个定义的本质是：取函数上两点 (a, f(a)) 和 (a+h, f(a+h))，计算连线的割线斜率，然后让 h 趋近 0。如果割线斜率趋近于一个确定的值，这个值就是切线的斜率，也就是导数。
导数 f'(a) 等于函数图像在点 (a, f(a)) 处切线的斜率。切线是割线在 h → 0 时的极限位置。
如果 s(t) 表示物体在时刻 t 的位置，那么 s'(t) 就是物体在时刻 t 的瞬时速度。导数将"平均速度"（位移/时间）推广到了"瞬时速度"。
对导数再求导，就得到二阶导数 f''(x)。二阶导数的物理意义是加速度（速度的变化率）。
| 阶数 | 记号 | 物理意义（运动学） | 几何意义 |
|---|---|---|---|
| 一阶导数 | f'(x), dy/dx | 速度 | 切线斜率 |
| 二阶导数 | f''(x), d²y/dx² | 加速度 | 曲线的凹凸性 |
| 三阶导数 | f'''(x) | 加速度的变化率 | 凹凸性的变化率 |
并非所有连续函数都可导。以下三种情况导数不存在：
函数图像在某点形成"尖角"，左右导数不相等。经典例子是 |x| 在 x = 0。
当切线的斜率趋向无穷大时，导数不存在。例如 f(x) = x1/3 在 x = 0 处，切线是垂直的。
如果函数在某点不连续，那么它在该点一定不可导。因为导数的定义要求极限存在，而间断点处极限要么不存在，要么不等于函数值。
可导 ⇒ 连续：如果 f 在 a 处可导，则 f 在 a 处一定连续。
连续 ⇒ 可导：这个命题是错误的。连续函数不一定可导。
f(x) = |x| 在 x = 0 处连续（图像没有断裂），但在 x = 0 处不可导（图像有尖角）。左导数为 -1，右导数为 1，两者不相等，所以导数不存在。这说明"连续"只是"可导"的必要条件，而非充分条件。
问题：判断 f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处是否连续，并说明间断类型。
第一步：检查 f(1) 是否有定义
f(1) = (1 - 1)/(1 - 1) = 0/0 ⇒ 无定义
条件一不满足，函数在 x = 1 处不连续。
第二步：检查极限是否存在
因式分解：(x² - 1)/(x - 1) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1 （x ≠ 1）
极限存在且等于 2。
第三步：判断间断类型
极限存在（= 2），但函数在 x = 1 处无定义。这是可去间断点。
如果补充定义 f(1) = 2，则函数在 x = 1 处变为连续。
问题：判断 f(x) = |x| 在 x = 0 处是否可导。
第一步：计算左导数
第二步：计算右导数
第三步：比较左右导数
左导数 = -1 ≠ 1 = 右导数
左右导数不相等 ⇒ f'(0) 不存在
补充：验证连续性
f(0) = 0，lim(x→0) |x| = 0 = f(0)，所以 f(x) 在 x = 0 处连续。
这证明了：连续 ⇒ 可导 是错误的。
问题：利用导数的定义，求 f(x) = x² 在 x = 3 处的导数。
第一步：写出定义式
第二步：代入 f(x) = x²
第三步：取极限
验证
用求导公式验证：f'(x) = 2x，所以 f'(3) = 2 × 3 = 6。与定义法结果一致。
问题：利用介值定理证明方程 x³ - 2x - 5 = 0 在区间 (2, 3) 内至少有一个根。
第一步：构造辅助函数
令 f(x) = x³ - 2x - 5。这是一个多项式函数，在 (-∞, +∞) 上连续，当然在 [2, 3] 上也连续。
第二步：计算端点函数值
第三步：应用介值定理
因为 f(x) 在 [2, 3] 上连续，且 f(2) = -1 < 0，f(3) = 16 > 0。
由介值定理，对于 f(2) = -1 和 f(3) = 16 之间的任意值（包括 0），至少存在一个 c ∈ (2, 3) 使得 f(c) = 0。
第四步：得出结论
存在 c ∈ (2, 3) 使得 c³ - 2c - 5 = 0，即方程在 (2, 3) 内有根。
（实际上，c ≈ 2.0946，这是著名的"华林问题"中的方程。）
以下 MATLAB 代码帮助你可视化连续性和可导性的核心概念。