普林斯顿微积分读本
描述周期性现象的数学语言
在日常生活中，我们习惯用度数来度量角度——一个完整的圆周是 360 度。但在微积分中，我们几乎总是使用弧度（radian）。这不是一个随意的约定，而是因为弧度是角度的"自然单位"。
弧度制的核心优势在于简洁性。当角度以弧度度量时，许多微积分公式变得极为简洁。例如，导数公式 d/dx sin(x) = cos(x) 只在弧度制下成立；如果用度数，则需要多乘一个常数因子。
微积分中最重要的三角极限是 lim(x→0) sin(x)/x = 1。这个极限仅当 x 以弧度为单位时才成立。如果 x 以度为单位，该极限等于 π/180。弧度制让这个极限恰好等于 1，从而简化了所有后续的推导。
在单位圆（半径为 1 的圆）上，当圆心角所对的弧长恰好等于半径时，这个角的大小定义为 1 弧度。
对于单位圆（r = 1），弧长就等于角度（以弧度计）。一个完整的圆周弧长为 2π，因此一个完整的圆周角等于 2π 弧度。
| 度数 | 弧度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | 未定义 |
| 120° | 2π/3 | √3/2 | -1/2 | -√3 |
| 180° | π | 0 | -1 | 0 |
| 270° | 3π/2 | -1 | 0 | 未定义 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
记住几个关键锚点：π = 180°，所以 π/2 = 90°（直角），π/4 = 45°（等腰直角三角形），π/6 = 30°，π/3 = 60°。其他角度可以通过加减这些基本值来得到。
三角函数最根本的定义来自单位圆。以坐标原点为圆心、半径为 1 的圆称为单位圆。从正 x 轴开始，逆时针旋转角度 θ，在圆周上到达的点 P 的坐标就是：
这个定义适用于任意角度，不仅限于 0° 到 90°。当 θ 大于 2π 时，我们只是绕圆多转了几圈；当 θ 为负时，我们顺时针旋转。
从单位圆上的点 (cos θ, sin θ) 出发，可以定义全部六个三角函数：
| 函数 | 定义 | 等价表示 | 周期 |
|---|---|---|---|
| sin θ | 点的 y 坐标 | 对边 / 斜边 | 2π |
| cos θ | 点的 x 坐标 | 邻边 / 斜边 | 2π |
| tan θ | sin θ / cos θ | 对边 / 邻边 | π |
| csc θ | 1 / sin θ | 斜边 / 对边 | 2π |
| sec θ | 1 / cos θ | 斜边 / 邻边 | 2π |
| cot θ | cos θ / sin θ | 邻边 / 对边 | π |
在单位圆上，cos θ 和 sin θ 分别是点的 x 坐标和 y 坐标。由于 x² + y² = r² = 1，我们立即得到最重要的三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 1。这不是需要记忆的公式，而是勾股定理的直接结果。
不同象限中，三角函数的值有正有负。ASTC 是一个方便的记忆法：
| 象限 | 角度范围 | sin | cos | tan | ASTC 含义 |
|---|---|---|---|---|---|
| 第一象限 | 0 ~ π/2 | + | + | + | All — 全部为正 |
| 第二象限 | π/2 ~ π | + | - | - | Sine — 只有 sin 为正 |
| 第三象限 | π ~ 3π/2 | - | - | + | Tangent — 只有 tan 为正 |
| 第四象限 | 3π/2 ~ 2π | - | + | - | Cosine — 只有 cos 为正 |
英文口诀 "All Students Take Calculus"（所有学生都学微积分）——首字母 A-S-T-C 分别对应各象限中为正的函数。也可以用中文记："一全正，二正弦，三正切，四余弦"。
在微积分中，以下五个特殊角的三角函数值出现频率极高，必须熟记：
| θ | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | √3/3 | 1 | √3 | 未定义 |
观察 sin 值从 0 到 π/2 的变化：
分子中的 0, 1, 2, 3, 4 构成等差数列。cos 值则恰好相反，从 √4/2 递减到 √0/2。
等腰直角三角形的两条直角边相等，斜边是直角边的 √2 倍。因此 sin 45° = cos 45° = 1/√2 = √2/2。
将等边三角形从顶点到底边中点切开，得到一个 30-60-90 三角形。设短边为 1，则斜边为 2，长边为 √3。由此可直接读出 sin 30° = 1/2，sin 60° = √3/2，等等。
记住 sin 和 cos 之后，tan = sin / cos，所以 tan(π/6) = (1/2) / (√3/2) = 1/√3 = √3/3。不需要单独记忆 tan 值。
三角函数的图像是理解其性质的最佳工具。通过观察图像，我们可以直观地看到周期性、对称性、零点和极值。
tan(x) = sin(x)/cos(x)。当 cos(x) = 0 时（即 x = π/2 + kπ），tan 趋向无穷大，产生垂直渐近线。tan 的周期是 π，只有 sin 和 cos 的一半。
通过四个参数，我们可以对正弦函数进行全面的变换：
| 参数 | 名称 | 作用 | 效果 |
|---|---|---|---|
| A | 振幅 | 控制波的高度 | 值域变为 [-|A|, |A|] |
| ω | 角频率 | 控制波的疏密 | 周期变为 2π/|ω| |
| φ | 初相位 | 控制波的水平位移 | 向左移 φ/ω（若 φ > 0） |
| D | 垂直偏移 | 控制波的上下位置 | 值域变为 [D-|A|, D+|A|] |
简谐运动（弹簧、钟摆）、声波、电磁波都可以用 y = A sin(ωx + φ) + D 来描述。A 对应波的强度（振幅），ω 对应频率（音调高低），φ 对应初始状态（相位），D 对应平衡位置的偏移。
交流电路分析：正弦电压 V(t) = V₀ sin(ωt) 和电流 I(t) = I₀ sin(ωt + φ) 描述交流电的时变特性。通过三角恒等式可计算瞬时功率 P = VI，并分析有功功率和无功功率。
声波与光波的叠加：两列相干波叠加时，利用 sin(A) + sin(B) = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) 可分析干涉条纹和驻波分布，这是声学设计和光学仪器原理的基础。
建筑结构中的力的分解：斜拉桥钢索的拉力 T 可分解为水平分量 T cosθ 和竖直分量 T sinθ，工程师据此计算桥塔和桥面的受力，确保结构安全。
卫星轨道计算：开普勒定律利用三角函数描述行星和卫星的椭圆轨道。地面站通过计算卫星的方位角和仰角，实现天线精确指向和轨道跟踪。
傅里叶分析基础：任何周期信号都可分解为不同频率正弦波的叠加（傅里叶级数）。这是数字信号处理、音频压缩（MP3）和图像压缩（JPEG）的数学基础。
三角恒等式是微积分计算中不可或缺的工具。化简表达式、求导、积分——几乎所有操作都需要用到恒等式。
由单位圆上的勾股定理 x² + y² = 1 直接得出：
将等式两边分别除以 cos²θ 或 sin²θ，可以得到另外两个有用的形式：
倍角公式在积分计算中极为常用：
cos(2θ) 有三种等价形式，各有用途：
cos²θ = (1 + cos(2θ))/2 和 sin²θ = (1 - cos(2θ))/2 这两个"降幂公式"在积分中极其重要。遇到 sin²x 或 cos²x 的积分时，必须先用降幂公式将平方去掉，然后才能积分。
题目：将 150° 转换为弧度，并化简为最简形式。
弧度 = 角度 × (π / 180)
150° × (π / 180) = 150π / 180
150π / 180 = 15π / 18 = 5π/6
5π/6 = 5 × 180° / 6 = 5 × 30° = 150°。验证正确。
题目：利用参考角和 ASTC 方法，求 sin(7π/6) 的精确值。
7π/6 介于 π（= 6π/6）和 3π/2（= 9π/6）之间，因此位于第三象限。
根据 ASTC 规则，第三象限中只有 tan 为正，sin 为负。因此 sin(7π/6) < 0。
参考角 = 7π/6 - π = 7π/6 - 6π/6 = π/6
参考角 π/6 对应的是 30° 的特殊角。
sin(参考角) = sin(π/6) = 1/2
由于第三象限 sin 为负，所以 sin(7π/6) = -1/2
题目：证明恒等式 sin²(θ) / (1 + cos(θ)) = 1 - cos(θ)。
利用毕达哥拉斯恒等式 sin²θ = 1 - cos²θ，将分子替换：
左边 = (1 - cos²θ) / (1 + cosθ)
1 - cos²θ 是平方差公式：(1 + cosθ)(1 - cosθ)
左边 = (1 + cosθ)(1 - cosθ) / (1 + cosθ)
前提条件：1 + cosθ ≠ 0（即 θ ≠ π + 2kπ）
约去 (1 + cosθ)，得到左边 = 1 - cosθ
左边 = 右边 = 1 - cosθ，恒等式成立。
题目：已知 cos(π/3) = 1/2，利用倍角公式求 cos(2π/3) 的值。
2π/3 = 2 × (π/3)，所以令 θ = π/3。
cos(2θ) = 2cos²θ - 1
cos(2π/3) = 2cos²(π/3) - 1 = 2 × (1/2)² - 1 = 2 × 1/4 - 1 = 1/2 - 1 = -1/2
2π/3 在第二象限，cos 在第二象限为负，与结果 -1/2 一致。