第 11 章
同一个变换的不同面孔：基变换、相似矩阵与若尔当标准形
设 B = {b₁, b₂, ..., bₙ} 和 C = {c₁, c₂, ..., cₙ} 是向量空间 V 的两组基。从 B 到 C 的基变换矩阵 PC←B 将 B-坐标转换为 C-坐标：
其中 PC←B 的第 j 列是 bⱼ 在 C-基下的坐标。特别地，若 C 是标准基，则 P 就是以 B 的向量为列的矩阵。
基变换只是"换一副眼镜"看同一个向量。向量本身不变，但其坐标表示随基的不同而改变。基变换矩阵就是这种"翻译"的工具。
设 T: V → V 是线性变换。若 A 是 T 在基 B 下的矩阵，B 是 T 在基 C 下的矩阵，则：
其中 P = PC←B。称 A 与 B 相似。相似矩阵代表同一个线性变换在不同基下的表示。
以下量在同相似类中保持不变，称为相似不变量：
但特征向量会改变：若 Av = λv，则 B(P⁻¹v) = λ(P⁻¹v)。
并非所有矩阵都可对角化。当几何重数 < 代数重数时，特征向量不足。若尔当标准形是复数域上最简的相似代表：
每个若尔当块 Jᵢ 对应一个特征值 λ：
若尔当形揭示了变换的"广义特征方向"——即使无法完全对角化，也能分解为伸缩与剪切作用的叠加。
相似的本质是"同构视角"。A 和 B=P⁻¹AP 描述同一个变换，只是观察的坐标系不同。寻找最简单的相似代表（对角形或若尔当形）是理解变换结构的终极手段。
设 T 在标准基下的矩阵为 A，求 T 在基 B={b₁,...,bₙ} 下的矩阵 B：
两矩阵相似当且仅当它们有相同的：
对 2×2 矩阵，只需比较特征多项式和是否都可对角化。
若 A 有唯一特征值 λ（代数重数 n），且 nullity(A−λI) = 1，则若尔当块只有一个 n×n 块。
若 nullity(A−λI) = k，则有 k 个若尔当块，块的大小由 (A−λI)ʲ 的秩决定。
线性系统的状态方程 ẋ = Ax + Bu 可通过相似变换 x = Pz 化为 ẋ = (P⁻¹AP)z + (P⁻¹B)u。选择合适的 P 可将系统化为可控标准形、可观标准形或对角形，极大简化控制器设计。
在结构动力学中，物理坐标下的耦合微分方程 Mẍ + Kx = 0 可通过模态矩阵（特征向量矩阵）P 变换到模态坐标：ÿ + Λy = 0。对角矩阵 Λ 使方程完全解耦，每个模态独立振动。
线性常微分方程组 ẋ = Ax 的解可通过 x(t) = e^(At)x₀ 表示。若 A = PΛP⁻¹，则 e^(At) = Pe^(Λt)P⁻¹，指数矩阵的计算被大大简化。若 A 不可对角化，若尔当形仍提供计算 e^(At) 的系统方法。
在量子力学中，物理量由厄米算符表示（复数域上的对称矩阵）。不同"表象"对应不同基，基变换就是相似变换（实际是幺正变换）。薛定谔绘景与海森堡绘景的转换本质上是基变换。
题目：设 T: R² → R² 在标准基下的矩阵为 A = [[2,1],[1,2]]。求 T 在基 B = {b₁=(1,1), b₂=(1,−1)} 下的矩阵 B。
基变换矩阵 P = [b₁ b₂] = [[1,1],[1,−1]]。
det(P) = −1 − 1 = −2，故 P⁻¹ = (−1/2)[[−1,−1],[−1,1]] = [[0.5,0.5],[0.5,−0.5]]。
B = P⁻¹AP = [[0.5,0.5],[0.5,−0.5]] × [[2,1],[1,2]] × [[1,1],[1,−1]]
先算 AP = [[2,1],[1,2]] × [[1,1],[1,−1]] = [[3,1],[3,−1]]。
B = [[0.5,0.5],[0.5,−0.5]] × [[3,1],[3,−1]] = [[3,0],[0,1]]。
题目：判断 A = [[3,1],[0,3]] 与 B = [[3,0],[0,3]] 是否相似。
两矩阵特征值均为 λ=3（代数重数 2）。
对 A：A−3I = [[0,1],[0,0]]，秩为 1，几何重数 = 2−1 = 1。
对 B：B−3I = [[0,0],[0,0]]，秩为 0，几何重数 = 2−0 = 2。
几何重数不同，若尔当形不同：A 有一个 2×2 若尔当块，B 有两个 1×1 块。
题目：求 A = [[4,1,−1],[0,3,1],[0,1,3]] 的若尔当标准形。
Step 1 特征值：det(A−λI) = (4−λ)[(3−λ)²−1] = (4−λ)(λ²−6λ+8) = (4−λ)(λ−2)(λ−4) = (λ−4)²(λ−2)。
λ₁=4（代数重数 2），λ₂=2（代数重数 1）。
Step 2 λ=4 的几何重数：A−4I = [[0,1,−1],[0,−1,1],[0,1,−1]]。
行简化得 [[0,1,−1],[0,0,0],[0,0,0]]，秩为 1，几何重数 = 3−1 = 2。
几何重数 = 代数重数 = 2，故 λ=4 可对角化，有两个 1×1 若尔当块。
Step 3 λ=2：几何重数显然为 1。
若尔当形 J = [[4,0,0],[0,4,0],[0,0,2]]。
题目：求 A = [[5,1],[−1,3]] 的若尔当标准形及变换矩阵 P。
特征多项式：det(A−λI) = (5−λ)(3−λ) + 1 = λ² − 8λ + 16 = (λ−4)²。
唯一特征值 λ=4，代数重数 2。
A−4I = [[1,1],[−1,−1]]，秩为 1，几何重数 = 2−1 = 1 < 2。
故 A 不可对角化，若尔当形为一个 2×2 块：J = [[4,1],[0,4]]。
求广义特征向量：取 v₁ 满足 (A−4I)v₁=0，如 v₁=(1,−1)。
求 v₂ 满足 (A−4I)v₂ = v₁：[[1,1],[−1,−1]][x;y] = [1;−1] → x+y=1。取 v₂=(1,0)。
P = [v₁ v₂] = [[1,1],[−1,0]]，验证 P⁻¹AP = J。