第 10 章
对称矩阵的完美结构：实特征值、正交特征向量与谱分解
若矩阵 A 满足 A = Aᵀ，则称 A 为对称矩阵。对称矩阵拥有线性代数中最优美的性质：
对称性 A = Aᵀ 意味着变换在某种意义上是"自伴"的：u · (Av) = (Au) · v。这种内积下的对称性强制特征值为实数，并迫使不同特征空间互相正交。
对称矩阵的谱定理是线性代数的核心结果之一：
其中 Q 是正交矩阵（列向量为标准正交特征向量），Λ 是对角矩阵（对角线为特征值）。
右侧的展开称为谱分解：对称矩阵可分解为秩1投影矩阵的加权和，权重为特征值。每一项 λᵢqᵢqᵢᵀ 将任意向量投影到 qᵢ 方向上再缩放 λᵢ 倍。
二次型是定义在 Rⁿ 上的齐次二次函数：
其中 A 是对称矩阵。通过正交变换 x = Py（P 为正交矩阵），可将二次型标准化：
这相当于将坐标轴旋转到与特征向量对齐，消去交叉项。
对称矩阵 A 的正定性可通过特征值或主子式判断：
正定矩阵对应二次型 Q(x) > 0（x ≠ 0），几何上表示一个开口向上的椭抛物面。
谱定理表明：对称矩阵在正交变换下可完全对角化，这是少数"总是可对角化"的矩阵族之一。正定性判定的两种方法（特征值 vs 主子式）各有优势：特征值揭示几何本质，主子式便于手算判定。
步骤：求特征值 → 求特征向量 → 正交化（同特征值内部）→ 单位化 → 组装 Q 和 Λ。
由于不同特征值的特征向量已自动正交，只需对重特征值的特征向量做 Gram-Schmidt 正交化。
以 Q(x) = 3x₁² + 2x₁x₂ + 3x₂² 为例：
对 3×3 矩阵 A，计算顺序主子式：
若 D₁>0, D₂>0, D₃>0，则 A 正定；若符号交替（−,+,−），则负定。
在结构工程中，质量矩阵 M 和刚度矩阵 K 通常对称。求解广义特征值问题 Kφ = ω²Mφ 得到固有频率 ω 和模态形状 φ。对称性保证模态互相正交，可将复杂振动分解为独立模态的叠加。
在统计学中，数据协方差矩阵 Σ 对称半正定。谱分解 Σ = QΛQᵀ 给出主成分方向（特征向量）和方差解释量（特征值）。这是主成分分析（PCA）的数学基础。
多元函数 f(x) 在临界点处的 Hessian 矩阵 H（二阶偏导数矩阵）对称。若 H 正定，则该点为局部极小值；若负定，则为局部极大值。优化算法（如牛顿法）利用 Hessian 的谱分解确定搜索方向。
刚体的惯性张量 I 是 3×3 对称矩阵，描述质量相对于旋转轴的分布。其特征值为主转动惯量，特征向量为主轴方向。谱分解将任意旋转分解为绕三个主轴的独立转动。
题目：将 A = [[4,2],[2,4]] 正交对角化，求正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ 使得 A = QΛQᵀ。
Step 1 求特征值：det(A−λI) = (4−λ)² − 4 = λ² − 8λ + 12 = (λ−6)(λ−2) = 0。
得 λ₁ = 6，λ₂ = 2。
Step 2 求特征向量：
验证：v₁ · v₂ = −1 + 1 = 0，已正交。
Step 3 单位化：e₁ = (1/√2, 1/√2)，e₂ = (−1/√2, 1/√2)。
Step 4 组装：Q = [[1/√2, −1/√2],[1/√2, 1/√2]]，Λ = [[6,0],[0,2]]。
题目：将二次型 Q(x) = 2x₁² + 4x₁x₂ + 5x₂² 化为标准形，并指出对应的曲面类型。
对称矩阵 A = [[2,2],[2,5]]。
特征方程：det(A−λI) = (2−λ)(5−λ) − 4 = λ² − 7λ + 6 = (λ−6)(λ−1) = 0。
λ₁=6，λ₂=1，均为正数。
λ₁=6：[[−4,2],[2,−1]] → v₁=(1,2)；λ₂=1：[[1,2],[2,4]] → v₂=(−2,1)。
单位化：e₁=(1/√5, 2/√5)，e₂=(−2/√5, 1/√5)。
标准形：Q = 6y₁² + y₂²。
由于两个特征值均为正，Q = 1 表示一个椭圆，Q(x) 是正定二次型。
题目：判断下列矩阵的正定性：
(a) A = [[2,−1,0],[−1,2,−1],[0,−1,2]] (b) B = [[1,2],[2,1]]
顺序主子式：D₁ = 2 > 0；D₂ = 4−1 = 3 > 0；D₃ = det(A) = 2(4−1) + 1(−2−0) = 6−2 = 4 > 0。
所有顺序主子式为正，A 正定。
验证特征值：det(A−λI) = (2−λ)[(2−λ)²−1] + 1[−(2−λ)] = (2−λ)(λ²−4λ+2) = 0。
λ = 2, 2±√2，即 λ ≈ 3.414, 2, 0.586，全为正。
D₁ = 1 > 0；D₂ = 1−4 = −3 < 0。
顺序主子式符号为 +, −，B 不定（实际是负定阶1，正不定）。
特征值：det(B−λI) = (1−λ)² − 4 = λ² − 2λ − 3 = (λ−3)(λ+1) = 0。
λ₁=3>0, λ₂=−1<0，有正有负，确为不定矩阵。
题目：对 A = [[5,2],[2,2]] 进行谱分解，并计算 A⁵。
特征值：λ² − 7λ + 6 = (λ−6)(λ−1) = 0 → λ₁=6, λ₂=1。
特征向量：v₁=(2,1), v₂=(−1,2)。单位化：q₁=(2/√5,1/√5), q₂=(−1/√5,2/√5)。
谱分解：A = 6q₁q₁ᵀ + 1q₂q₂ᵀ。
利用谱分解计算幂：A⁵ = QΛ⁵Qᵀ = 6⁵q₁q₁ᵀ + 1⁵q₂q₂ᵀ = 7776 q₁q₁ᵀ + q₂q₂ᵀ。
q₁q₁ᵀ = (1/5)[[4,2],[2,1]]，q₂q₂ᵀ = (1/5)[[1,−2],[−2,4]]。
A⁵ = (7776/5)[[4,2],[2,1]] + (1/5)[[1,−2],[−2,4]] = (1/5)[[31105, 15550],[15550, 7780]]。