Chapter 05
基的严格定义、维数定理、坐标表示与基变换
向量空间 V 的一组基(basis)是满足以下两个条件的向量集合 B = {v₁, v₂, ..., vₙ}：
基是向量空间的"最小生成集"和"最大线性无关集"。就像地图的坐标轴，基为我们提供了一套描述空间中任意位置的"语言"——坐标。
若 V 是有限维向量空间，则 V 的任意两组基包含相同数量的向量。这个数量称为 V 的维数(dimension)，记作 dim(V)。
维数是向量空间最本质的不变量之一。无论选择哪组基，坐标系的"自由度"（即维数）始终不变。例如：
给定 V 的一组基 B = {b₁, b₂, ..., bₙ}，任何向量 v ∈ V 都可以唯一地表示为：
系数 (c₁, c₂, ..., cₙ) 称为 v 相对于基 B 的坐标，记作 [v]ᴮ = (c₁, c₂, ..., cₙ)ᵀ。
坐标的唯一性由基的线性无关性保证。若存在两组不同的系数表示同一个向量，则基的线性组合等于零向量且系数不全为零，这与基的线性无关性矛盾。
Rⁿ 中最常用的基是标准基(standard basis)：
在标准基下，向量 v = (v₁, v₂, ..., vₙ)ᵀ 的坐标就是其分量本身，即 [v]ᴱ = v。
设 B = {b₁, ..., bₙ} 和 C = {c₁, ..., cₙ} 是 V 的两组基。向量 v 在两组基下的坐标 [v]ᴮ 和 [v]ᶜ 之间的关系由基变换矩阵(change-of-basis matrix)决定。
从 B 到 C 的基变换矩阵 P_{C←B} 的列是 B 中向量在 C 下的坐标：
坐标变换公式为：
从 C 到 B 的基变换矩阵是 P_{C←B} 的逆矩阵：P_{B←C} = (P_{C←B})⁻¹。特别地，若 C 是标准基，则 P_{C←B} 就是以 B 的向量为列构成的矩阵。
给定基 B = {b₁, b₂, ..., bₙ} 和向量 v，求 [v]ᴮ 即求解线性方程组：
构造增广矩阵 [b₁ b₂ ... bₙ | v]，通过高斯消元得到解 (c₁, c₂, ..., cₙ)。
判断 n 个向量是否构成 Rⁿ 的基，等价于判断它们是否线性无关。常用方法：
设 B 和 C 是 Rⁿ 的两组基。求 P_{C←B} 的步骤：
更实用的方法：若已知矩阵 B_mat（以 B 为列）和 C_mat（以 C 为列），则：
全球定位系统(GPS)需要在不同的坐标系之间转换：地心地固坐标系(ECEF)、地理坐标系（经纬度高程）、局部切平面坐标系(ENU)。这些转换本质上是基变换：选择不同的基向量（指向北、东、天顶的单位向量），同一个物理位置在不同基下有不同的坐标表示。
在机器学习中，高维数据往往存在于低维流形上。主成分分析(PCA)的核心思想就是寻找一组新的正交基（主成分），使得数据在前几个基向量方向上的投影方差最大。这相当于将数据从标准基变换到"数据驱动"的基，从而保留主要信息并降维。
JPEG图像压缩使用离散余弦变换(DCT)。8×8 的图像块被表示为64个DCT基函数的线性组合。由于大部分图像能量集中在低频DCT基上，高频系数可以被量化和丢弃，实现大幅压缩而不明显损失视觉质量。
在结构力学和电磁场仿真中，有限元法将连续域离散化为有限个单元。每个单元上的未知场量（如位移、电势）用形函数(shape function)作为基来插值。选择适当的形函数基是有限元方法精度和效率的关键。
在 R³ 中，给定基 B = {b₁, b₂, b₃}，其中 b₁ = (1,0,1)ᵀ, b₂ = (0,1,1)ᵀ, b₃ = (1,1,0)ᵀ。求向量 v = (4,3,3)ᵀ 在基 B 下的坐标 [v]ᴮ。
设 [v]ᴮ = (c₁, c₂, c₃)ᵀ，则 c₁b₁ + c₂b₂ + c₃b₃ = v。
构造增广矩阵并进行行简化：
R₃ ← R₃ - R₁：
R₃ ← R₃ - R₂：
回代得：c₃ = 2, c₂ = 1, c₁ = 2。
判断向量组 v₁ = (1,2,3)ᵀ, v₂ = (2,5,7)ᵀ, v₃ = (1,3,4)ᵀ 是否构成 R³ 的一组基。
构造矩阵 A = [v₁ v₂ v₃]：
计算行列式 det(A)：
det(A) = 1×(5×4 - 3×7) - 2×(2×4 - 3×3) + 1×(2×7 - 5×3)
= 1×(20-21) - 2×(8-9) + 1×(14-15)
= -1 + 2 - 1 = 0
在 R² 中，给定两组基：B = {b₁=(1,1)ᵀ, b₂=(1,-1)ᵀ} 和 C = {c₁=(2,1)ᵀ, c₂=(1,2)ᵀ}。求从 B 到 C 的基变换矩阵 P_{C←B}。
方法：P_{C←B} = C⁻¹B，其中 B 和 C 是以基向量为列的矩阵。
先求 C⁻¹：det(C) = 4-1 = 3
计算 P_{C←B} = C⁻¹B：
设多项式空间 P₂ 的两组基为 B = {1, x, x²} 和 C = {1, 1+x, 1+x+x²}。求多项式 p(x) = 2 + 3x + 4x² 在基 C 下的坐标 [p]ᶜ。
首先，B 是标准基，[p]ᴮ = (2, 3, 4)ᵀ。
求 P_{B←C}：C 中向量在 B 下的坐标即为其系数：
因此：
P_{C←B} = (P_{B←C})⁻¹。对三角矩阵求逆：
[p]ᶜ = P_{C←B}[p]ᴮ = (2-3, 3-4, 4)ᵀ = (-1, -1, 4)ᵀ。
验证：-1·1 + (-1)·(1+x) + 4·(1+x+x²) = -1-1-x+4+4x+4x² = 2+3x+4x²，正确。
执行上述代码，MATLAB 命令行输出如下：