矩阵乘法的几何意义与逆矩阵——"撤销"变换的数学
若 A 是 m×n 矩阵，B 是 n×p 矩阵，则乘积 AB 是 m×p 矩阵，其第 i 行第 j 列元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的点积：
若 A 代表变换 T_A，B 代表变换 T_B，则 AB 代表"先进行 T_B，再进行 T_A"的复合变换。
矩阵乘法的定义并非任意规定，而是为了恰好对应线性变换的复合。如果定义其他乘法方式，就无法保证"矩阵乘积 = 变换复合"这一核心性质。行乘列的规则是几何直观对代数形式的"强制要求"。
一般情况下，AB ≠ BA。这在几何上是显然的：先旋转再缩放，与先缩放再旋转，通常得到不同的结果。
虽然不满足交换律，但矩阵乘法满足以下性质：
手算 2×2 矩阵乘法：
对于更大的矩阵，可以采用"行×列"逐元素计算，或使用分块矩阵技巧。
方阵 A 的逆矩阵 A⁻¹ 是满足以下条件的矩阵：
其中 I 是单位矩阵。逆矩阵的存在意味着变换 A 是"可逆的"——可以通过另一个变换"撤销"它的效果。
如果 A 将空间旋转了 30°，那么 A⁻¹ 就将空间旋转 -30°。如果 A 将 x 方向拉伸 2 倍，A⁻¹ 就将 x 方向压缩 1/2 倍。逆矩阵就是原变换的"时间倒流"。
以下命题等价：
注意分母 ad - bc = det(A)，所以当 det(A) = 0 时逆矩阵不存在。
解密（逆矩阵解码）：在简单的 Hill 密码中，明文被编码为数字矩阵，通过与密钥矩阵相乘加密。解密方用密钥矩阵的逆矩阵恢复明文。虽然现代密码学使用更复杂的方案，但逆运算的思想仍是核心。
结构力学（柔度矩阵求逆）：在结构分析中，刚度矩阵 K 描述力与位移的关系 F = Kx。柔度矩阵是 K 的逆：x = K⁻¹F。工程师通过求逆矩阵，从已知载荷计算结构变形。
电路分析（阻抗矩阵）：多端口网络的电压-电流关系可用阻抗矩阵 Z 描述 V = ZI。导纳矩阵 Y = Z⁻¹ 则描述电流-电压关系 I = YV。阻抗与导纳互为逆矩阵。
马尔可夫链转移矩阵：在随机过程中，转移矩阵的幂描述多步演化。虽然转移矩阵通常不可逆，但其特征分解（涉及广义逆）用于分析稳态分布和收敛速度。
初等矩阵是对单位矩阵进行一次初等行变换得到的矩阵。三种初等行变换对应三种初等矩阵：
求逆矩阵的标准方法——高斯-约当消元法：
每一步初等行变换都等价于左乘一个初等矩阵。假设经过一系列初等变换 E₁, E₂, ..., Eₖ 将 A 化为 I，则 Eₖ···E₂E₁A = I，所以 A⁻¹ = Eₖ···E₂E₁。这些初等矩阵同时作用于 I，就得到了 A⁻¹。
以 2×2 矩阵为例，用增广矩阵法验证公式：
通过行变换消去左下和右上元素，最终左侧化为 I，右侧即为 A⁻¹。
LU 分解将一个矩阵 A 分解为一个下三角矩阵 L（Lower triangular）和一个上三角矩阵 U（Upper triangular）的乘积：
其中 L 的对角线元素为 1，U 是上三角矩阵。
LU 分解是高斯消元法的矩阵形式。消元过程本质上就是将 A 化为上三角矩阵 U，同时记录消元步骤对应的下三角矩阵 L。
当需要多次求解 Ax = b（不同 b）时，LU 分解只需做一次（O(n³)），之后每次求解只需两次回代（O(n²)）。这在有限元分析、优化算法等需要反复求解的领域中极大提高了效率。
注意：并非所有矩阵都有 LU 分解。当消元过程中需要行交换时，需要引入置换矩阵 P，得到 PA = LU（带选主元的 LU 分解）。
计算 AB，其中 A = [ 1 2 ]，B = [ 5 6 ]
[ 3 4 ] [ 7 8 ]
A 的第 1 行 · B 的第 1 列 = 1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19
A 的第 1 行 · B 的第 2 列 = 1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22
A 的第 2 行 · B 的第 1 列 = 3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43
A 的第 2 行 · B 的第 2 列 = 3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50
求 A = [ 4 7 ] 的逆矩阵。
[ 2 6 ]
det(A) = 4×6 - 7×2 = 24 - 14 = 10
A⁻¹ = (1/10) [ 6 -7 ] = [ 0.6 -0.7 ]
[ -2 4 ] [ -0.2 0.4 ]
[ 4 7 | 1 0 ] --(R₁/4)--> [ 1 1.75 | 0.25 0 ]
[ 2 6 | 0 1 ] [ 2 6 | 0 1 ]
--(R₂-2R₁)--> [ 1 1.75 | 0.25 0 ]
[ 0 2.5 | -0.5 1 ]
--(R₂/2.5)--> [ 1 1.75 | 0.25 0 ]
[ 0 1 | -0.2 0.4 ]
--(R₁-1.75R₂)--> [ 1 0 | 0.6 -0.7 ]
[ 0 1 | -0.2 0.4 ]
解方程 AX = B，其中 A = [ 2 1 ]，B = [ 5 3 ]
[ 1 3 ] [ 4 7 ]
det(A) = 2×3 - 1×1 = 5
A⁻¹ = (1/5) [ 3 -1 ] = [ 0.6 -0.2 ]
[ -1 2 ] [ -0.2 0.4 ]
X = [ 0.6 -0.2 ] [ 5 3 ] = [ 0.6×5-0.2×4 0.6×3-0.2×7 ]
[ -0.2 0.4 ] [ 4 7 ] [ -0.2×5+0.4×4 -0.2×3+0.4×7 ]
= [ 3-0.8 1.8-1.4 ] = [ 2.2 0.4 ]
[ -1+1.6 -0.6+2.8 ] [ 0.6 2.2 ]
AX = [ 2 1 ] [ 2.2 0.4 ] = [ 4.4+0.6 0.8+2.2 ] = [ 5 3 ] = B ✓
[ 1 3 ] [ 0.6 2.2 ] [ 2.2+1.8 0.4+6.6 ] [ 4 7 ]
对 A = [ 2 1 1 ] 进行 LU 分解。
[ 4 3 3 ]
[ 8 7 9 ]
消去第 2 行第 1 列：R₂ - 2R₁（乘数 l₂₁ = 2）
消去第 3 行第 1 列：R₃ - 4R₁（乘数 l₃₁ = 4）
得到：[ 2 1 1 ]
[ 0 1 1 ]
[ 0 3 5 ]
消去第 3 行第 2 列：R₃ - 3R₂（乘数 l₃₂ = 3）
U = [ 2 1 1 ]
[ 0 1 1 ]
[ 0 0 2 ]
L 的对角线为 1，下方元素为消元乘数：
L = [ 1 0 0 ]
[ 2 1 0 ]
[ 4 3 1 ]
直接计算 LU 可验证等于原矩阵 A。
以下 MATLAB 代码演示矩阵乘法、求逆和 LU 分解。