7.1 自伴算子
自伴算子（或厄米算子）满足 A = A*（A 的共轭转置）。在实数域上，这就是对称矩阵 A = Aᵀ。
自伴算子的关键性质
- 特征值都是实数
- 不同特征值对应的特征向量正交
- 存在由特征向量构成的标准正交基
这些性质使得自伴算子在物理和工程中无处不在 —— 能量、频率、主惯性矩都是实数。
示例：惯性张量
刚体转动的惯性张量是一个对称矩阵。它的特征值是主惯性矩，特征向量定义了主轴方向。这就是为什么陀螺绕主轴旋转时最稳定。
7.2 谱定理
谱定理是线性代数中最优美的结果之一：自伴算子可以被正交对角化。即 A = QDQᵀ，其中 Q 是正交矩阵（QᵀQ = I）。
这意味着自伴算子的作用可以看作是在一组互相垂直的方向上的独立伸缩。
谱定理的完整表述
对于有限维内积空间上的自伴算子 T，存在由 T 的特征向量构成的标准正交基。在这个基下，T 的矩阵是对角矩阵，对角线元素是实特征值。
示例：二次型的主轴变换
二次型 Q(x) = xᵀAx 在 A 对称时，通过正交变换 x = Qy 可化为：
Q(x) = λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λₙyₙ²
这揭示了二次曲面的几何形状：特征值的符号决定是椭球面、双曲面还是抛物面。
正规算子
更一般地，正规算子（满足 AA* = A*A）也可以被酉对角化。自伴算子是正规算子的特例。另一个重要的特例是酉算子（A* = A⁻¹），它保持内积不变，对应于旋转和反射。
第一步：检查对称性
Aᵀ = [[3,1],[1,3]] = A ✓，因此 A 是自伴算子。
第二步：列特征方程
det(A − λI) = (3−λ)² − 1 = λ² − 6λ + 8 = 0
第三步：解方程
(λ−2)(λ−4) = 0，特征值 λ₁ = 4，λ₂ = 2，均为实数 ✓
第四步：求特征向量并验证正交性
λ₁ = 4 时 v₁ = (1,1)ᵀ；λ₂ = 2 时 v₂ = (1,−1)ᵀ。v₁ᵀv₂ = 1−1 = 0，互相正交 ✓
A 是自伴算子，特征值为 4 和 2，对应正交特征向量 (1,1)ᵀ 和 (1,−1)ᵀ。
第一步：写出矩阵
A = [[5,3],[3,5]]（对称矩阵）
第二步：求特征值
det(A − λI) = (5−λ)² − 9 = λ² − 10λ + 16 = (λ−2)(λ−8) = 0
第三步：求正交特征向量
λ₁ = 8，v₁ = (1,1)ᵀ/√2；λ₂ = 2，v₂ = (1,−1)ᵀ/√2
第四步：坐标变换
令 x = Qy（Q 为正交矩阵），则 Q(x) = 8y₁² + 2y₂²
标准形 Q = 8y₁² + 2y₂²，所有系数为正，是正定的椭圆。
第一步：列特征方程
(1−λ)² − 4 = λ² − 2λ − 3 = (λ+1)(λ−3) = 0
第二步：求特征值
λ₁ = 3 > 0，λ₂ = −1 < 0
第三步：判断正定性
存在负特征值（λ₂ = −1），因此 A 不正定。
A 不正定（不定矩阵），对应的二次型 x₁² + 4x₁x₂ + x₂² 是双曲面。
7.3 工程应用：振动模态分析
在结构力学中，振动系统的固有频率和模态形状就是广义特征值问题的解：Kφ = λMφ，其中 K 是刚度矩阵，M 是质量矩阵。
工程实例：桥梁振动分析
设计桥梁时，需要避免固有频率与风载或车流频率重合（共振）。通过求解特征值问题，工程师可以预测结构的振动模态，并调整设计以避开危险频率。
汽车NVH：噪声、振动与声振粗糙度（NVH）分析中，特征值问题用于预测车身和悬挂系统的固有频率，优化乘坐舒适性。
M = diag([1, 1, 1]);
K = [2 -1 0; -1 2 -1; 0 -1 2];
[eigvec, eigval] = eig(K, M);
omega = sqrt(diag(eigval));
for i = 1:3
subplot(1,3,i);
bar(eigvec(:,i)); title(['模态 ' num2str(i)]);
end