4.1 行列式的几何意义
3Blue1Brown 对行列式的解释令人印象深刻：行列式是线性映射对体积的缩放因子。
在二维中，det(A) 是面积缩放因子；在三维中，是体积缩放因子。若 det(A) = 0，映射将空间"压扁"到更低维度。
符号的意义
det(A) 的符号表示"定向"是否改变。正号保持定向（右手系仍是右手系），负号反转定向。
图 4-1：行列式作为面积缩放因子
行列式的直觉理解
想象单位正方形（面积=1）经过矩阵 A 的变换后变成一个平行四边形。这个平行四边形的面积就是 |det(A)|。
如果 det(A) = 0，平行四边形"坍缩"成一条线或一个点 —— 面积为零。这意味着 A 不可逆，变换丢失了信息。
4.2 计算方法
行列式的计算可以通过多种方式：
- 展开式（Laplace）：按行/列展开，适合理论分析和小规模计算
- LU 分解：det(A) = det(P) × det(L) × det(U) = ±∏uᵢᵢ，适合数值计算
- 特征值：det(A) = ∏λᵢ，揭示与特征值的深刻联系
示例：2×2 与 3×3 行列式
2×2：
|a b| = ad - bc
|c d|
3×3：使用 Sarrus 法则或 Laplace 展开，结果为 a(ei−fh) − b(di−fg) + c(dh−eg)。
A = [2 1; 1 3];
det_A = det(A);
unit_square = [0 1 1 0; 0 0 1 1];
transformed = A * unit_square;
area = polyarea(transformed(1,:), transformed(2,:));
B = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0];
det_B = det(B);
行列式的性质
行列式有许多有用的性质：
- det(AB) = det(A)det(B)
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(A⁻¹) = 1/det(A)
- 交换两行，行列式变号
- 某行乘以 k，行列式乘以 k
设 A = [[1,3,2],[4,1,5],[2,2,1]]，求 det(A) 并判断 A 是否可逆。
第一步：按第一行展开行列式
det(A) = 1×(1×1-5×2) - 3×(4×1-5×2) + 2×(4×2-1×2)
按第一行展开：a₁₁·M₁₁ - a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃，其中 Mᵢⱼ 是对应的余子式。
第二步：计算各余子式的值
= 1×(-9) - 3×(-6) + 2×6 = -9 + 18 + 12 = 21
其中：M₁₁ = 1×1-5×2 = -9，M₁₂ = 4×1-5×2 = -6，M₁₃ = 4×2-1×2 = 6
第三步：判断可逆性
det(A) = 21 ≠ 0，根据可逆性判别定理，行列式不为零的方阵一定可逆。
det(A) = 21，A 可逆。
用行列式解释：矩阵 A = [[2,0],[0,3]] 将单位正方形变换后的面积。
第二步：确定单位正方形顶点
单位正方形的四个顶点为 (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)。
第三步：计算变换后的顶点
A·(0,0)ᵀ=(0,0), A·(1,0)ᵀ=(2,0), A·(1,1)ᵀ=(2,3), A·(0,1)ᵀ=(0,3)
变换后得到一个宽为 2、高为 3 的矩形。
第四步：验证面积与行列式的关系
面积 = 2 × 3 = 6 = det(A)
行列式的绝对值等于线性变换后图形的面积缩放因子。
变换后面积为 6，恰好等于 det(A)，验证了行列式的几何意义。
用克拉默法则求解方程组：2x + y = 5, x + 3y = 7。
第一步：写出系数矩阵并计算行列式
A = [[2,1],[1,3]], det(A) = 2×3 - 1×1 = 5
det(A) ≠ 0，方程组有唯一解，可以使用克拉默法则。
第二步：用克拉默法则求 x
x = det(A₁)/det(A) = det([[5,1],[7,3]]) / 5 = (15-7)/5 = 8/5
其中 A₁ 是将 A 的第一列替换为常数项 [5,7]ᵀ 得到的矩阵。
第三步：用克拉默法则求 y
y = det(A₂)/det(A) = det([[2,5],[1,7]]) / 5 = (14-5)/5 = 9/5
其中 A₂ 是将 A 的第二列替换为常数项 [5,7]ᵀ 得到的矩阵。
x = 8/5, y = 9/5。
4.3 工程应用：体积与雅可比
在多变量积分中，雅可比行列式是坐标变换时的体积元缩放因子。这是行列式在微积分中的核心应用。
工程实例：有限元分析中的坐标变换
有限元方法中，将任意形状的单元映射到标准参考单元（如正方形或立方体）时，需要计算雅可比行列式 |J|。积分变换公式为：
∫∫_Ω f(x,y) dxdy = ∫∫_Ω̂ f(ξ,η) |J| dξdη
雅可比行列式确保物理空间中的"真实体积"被正确计算。
概率论：随机变量变换时，概率密度函数的变换也涉及雅可比行列式。这是蒙特卡洛模拟和统计推断的基础。
syms r theta;
x = r*cos(theta); y = r*sin(theta);
J = jacobian([x; y], [r, theta]);
det_J = det(J);
fun = @(r,theta) r;
area = integral2(fun, 0, 1, 0, 2*pi);