1.1 向量的本质
在线性代数中，向量是有序的数组，更是空间中的箭头。3Blue1Brown 的开篇视频告诉我们：向量可以代表任何东西 —— 物理中的力、计算机图形学中的颜色、经济学中的价格组合。
核心直觉
向量是"有方向和大小的量"，但在线性代数中，我们更关注它的代数结构：可以相加、可以数乘。这些操作的几何意义是：相加是首尾相接，数乘是缩放。
在 Rⁿ 中，一个向量可以写成列的形式：
v = [v₁, v₂, ..., vₙ]ᵀ
向量的几何表示
二维向量可以在平面上画成从原点出发的箭头。三维向量则在空间中延伸。这种几何表示不是装饰 —— 它揭示了向量运算的本质。
示例：RGB 颜色向量
在计算机图形学中，一种颜色可以表示为三维向量 (R, G, B)。例如纯红色是 (255, 0, 0)，黄色是 (255, 255, 0)。颜色的"混合"就是向量的加法，"调亮"就是数乘。
图 1-1：二维向量的加法（平行四边形法则）
v = [3; 4];
w = [1; 2];
sum_vw = v + w;
dot_vw = v' * w;
norm_v = norm(v);
quiver(0,0,v(1),v(2),'r','LineWidth',2); hold on;
quiver(0,0,w(1),w(2),'b','LineWidth',2);
quiver(0,0,sum_vw(1),sum_vw(2),'g','LineWidth',2);
legend('v','w','v+w'); axis equal; grid on;
点积与几何意义
两个向量的点积 ⟨u, v⟩ = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ 有着深刻的几何意义：
⟨u, v⟩ = ||u|| ||v|| cos θ
其中 θ 是两向量之间的夹角。当点积为零时，两向量垂直。点积为正表示夹角小于 90°，为负则表示大于 90°。
1.2 向量空间公理
《Linear Algebra Done Right》强调：向量空间是定义了加法和数乘的集合，且满足八条公理。这些公理不是 arbitrary 的规则，而是确保"空间"行为符合直觉的最小约束。
八条公理可以归纳为四类：
- 加法交换律与结合律：u + v = v + u，(u + v) + w = u + (v + w)
- 零向量与负向量：存在 0 使得 v + 0 = v，存在 -v 使得 v + (-v) = 0
- 数乘的分配与结合：a(u + v) = au + av，(ab)v = a(bv)
- 单位元：1v = v
重要提醒
向量空间的元素不一定是"箭头"。函数、多项式、矩阵都可以构成向量空间。线性代数的威力正是来自这种抽象。
示例：多项式空间 Pₙ
次数不超过 n 的多项式集合 Pₙ 是一个向量空间。两个多项式相加仍是多项式，多项式乘以标量仍是多项式。这个空间是 n+1 维 的，基可以是 {1, x, x², ..., xⁿ}。
1.3 子空间
子空间是向量空间的"子集"，但本身也必须是向量空间。判断子空间只需验证三件事：包含零向量、对加法封闭、对数乘封闭。
常见的子空间包括：
- 过原点的直线/平面：R³ 中过原点的平面是一个二维子空间
- 矩阵的列空间：矩阵列向量的所有线性组合
- 微分方程的解空间：齐次线性微分方程的所有解
示例：R³ 中的子空间
考虑 R³ 中满足 x + y + z = 0 的所有向量。这是一个过原点的平面，维数为 2。基向量可以取 v₁ = (1, -1, 0) 和 v₂ = (1, 0, -1)。
基与维数
向量空间的一组基是线性无关且能张成整个空间的向量集合。基中向量的个数就是空间的维数。
dim(V) = 基中向量的个数
维数是向量空间最核心的不变量。两个向量空间"相同"（同构）当且仅当它们维数相同。
1.4 综合例题
第一步：向量加法
u + v = (2+1, 3+(-1), 1+4) = (3, 2, 5)
第二步：线性组合
3u - 2v = 3(2,3,1) - 2(1,-1,4) = (6,9,3) - (2,-2,8) = (4, 11, -5)
第三步：向量的范数
||u|| = √(2² + 3² + 1²) = √(4 + 9 + 1) = √14
第四步：点积
⟨u, v⟩ = 2×1 + 3×(-1) + 1×4 = 2 - 3 + 4 = 3
第五步：两向量夹角
||v|| = √(1² + (-1)² + 4²) = √(1+1+16) = √18
cos θ = ⟨u,v⟩ / (||u|| · ||v||) = 3 / (√14 · √18) = 3/√252 ≈ 0.189
θ = arccos(0.189) ≈ 79.1°
u+v = (3, 2, 5)，3u-2v = (4, 11, -5)，||u|| = √14，⟨u,v⟩ = 3，θ ≈ 79.1°
第一步：验证零向量
零向量 (0, 0, 0)：0 + 0 + 0 = 0 ✓，零向量属于 W
第二步：验证加法封闭性
若 u = (u₁, u₂, u₃) ∈ W，则 u₁+u₂+u₃ = 0；若 v = (v₁, v₂, v₃) ∈ W，则 v₁+v₂+v₃ = 0
u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)，其分量之和 = (u₁+u₂+u₃) + (v₁+v₂+v₃) = 0 + 0 = 0 ✓
第三步：验证数乘封闭性
若 u = (u₁, u₂, u₃) ∈ W，则 u₁+u₂+u₃ = 0
au = (au₁, au₂, au₃)，其分量之和 = a(u₁+u₂+u₃) = a · 0 = 0 ✓
W 是 R³ 的二维子空间，一组基为 {(1, -1, 0), (1, 0, -1)}
第一步：建立线性关系方程
设 a(1,2,3) + b(4,5,6) + c(7,8,9) = (0, 0, 0)
第二步：列出方程组
a + 4b + 7c = 0
2a + 5b + 8c = 0
3a + 6b + 9c = 0
第三步：消元求解
由第一个方程减第二个方程：-a - b - c = 0，即 a = -b - c
代入第一个方程：-b - c + 4b + 7c = 0 → 3b + 6c = 0 → b = -2c
第四步：确定非零解
取 c = 1，则 b = -2，a = -(-2) - 1 = 1
验证：1·(1,2,3) + (-2)·(4,5,6) + 1·(7,8,9) = (1-8+7, 2-10+8, 3-12+9) = (0,0,0) ✓
非零解存在，向量组线性相关
向量组线性相关（注意：(1,2,3) + (7,8,9) = 2·(4,5,6)，即第三个向量可由前两个线性表示）
1.5 工程应用：信号空间
在信号处理中，离散信号就是向量。一个长度为 N 的离散信号 x[n] 可以看作 Rᴺ 中的一个向量。信号处理中的滤波、卷积、傅里叶变换，本质上都是线性代数操作。
工程实例：音频信号的向量表示
一段 1 秒、采样率 44.1kHz 的音频信号是一个 44100 维的向量。"混合两首歌曲"就是向量加法，"调节音量"就是数乘。均衡器（EQ）则是将信号投影到不同频率子空间上。
滤波器设计：数字滤波器可以看作一个线性映射，将输入信号向量映射为输出信号向量。FIR 滤波器的系数就是映射矩阵的行。
fs = 44100; t = 0:1/fs:1;
s1 = sin(2*pi*440*t);
s2 = sin(2*pi*880*t);
mixed = 0.5*s1 + 0.5*s2;
energy_s1 = norm(s1)^2;
plot(t(1:1000), s1(1:1000), 'b'); hold on;
plot(t(1:1000), mixed(1:1000), 'r');
legend('原信号','混音后'); xlabel('时间(s)');