探索变量之间的关系，从相关到因果的量化建模
散点图（Scatter Plot）是观察两个连续变量之间关系的最直观工具。将一对对数据 (x, y) 绘制在直角坐标系中，点的分布模式往往暗示着变量间的关联形态。
两个变量高度相关，并不意味着一个变量的变化导致了另一个变量的变化。可能存在 lurking variable（潜伏变量）同时影响着两者。冰淇淋销量与溺水事故正相关，但原因是气温——而不是冰淇淋导致溺水。
协方差（Covariance）衡量两个变量的联合变异程度：
协方差的符号揭示相关方向，但数值大小受量纲影响，难以直接比较。为此引入皮尔逊相关系数 r：
r 的取值范围在 −1 到 +1 之间。|r| 越接近 1，线性相关越强；越接近 0，线性相关越弱。
相关系数 r 对非线性关系不敏感。即使 r ≈ 0，变量之间也可能存在强烈的非线性关联（如完美的抛物线关系）。因此，做回归前务必先看散点图。
线性回归试图找到一条最佳拟合直线 ŷ = a + bx，使得预测值与实际值之间的残差平方和（RSS）最小：
通过求偏导并令其为零，可得最小二乘估计：
R²（决定系数）表示因变量的变异中有多少比例能被回归模型解释：
R² 越接近 1，模型拟合越好。但高 R² 不等于好模型——可能发生了过拟合（Overfitting）。当模型过于复杂、参数过多时，它在训练数据上表现优异，却对新数据失去预测能力。
房价预测：利用面积、房龄等特征建立回归模型预测房价。
销售与广告：分析广告投入与销售额的关系，优化预算分配。
传感器校准：通过回归建立传感器输出与真实物理量的映射。
材料应力-应变：在弹性范围内建立线性关系评估材料性能。
对任意 x₀，点估计为 ŷ₀ = a + bx₀。残差定义为实际值减去预测值：
残差图（Residual Plot）以预测值 ŷ 为横轴、残差 e 为纵轴。理想的残差图应呈现随机散布的带状，无明显模式。若出现喇叭形或曲线形，说明模型假设存在问题。
某实验室记录了 6 组温度（°C）与材料电阻（Ω）的数据：(20, 10.2), (25, 10.8), (30, 11.5), (35, 12.0), (40, 12.6), (45, 13.1)。求温度与电阻的相关系数 r。
先算均值：X̄ = (20+25+30+35+40+45)/6 = 32.5，Ȳ = (10.2+10.8+11.5+12.0+12.6+13.1)/6 = 11.7。
计算离差积之和：Σ(xᵢ−X̄)(yᵢ−Ȳ) = (−12.5)(−1.5)+...+ (12.5)(1.4) = 56.25。
Σ(xᵢ−X̄)² = 437.5，Σ(yᵢ−Ȳ)² = 7.34。
r = 56.25 / sqrt(437.5 * 7.34) ≈ 56.25 / 56.67 ≈ 0.993。
沿用例题 9.1 的数据，求电阻对温度的线性回归方程，并解释斜率的实际意义。
b = Σ(xᵢ−X̄)(yᵢ−Ȳ) / Σ(xᵢ−X̄)² = 56.25 / 437.5 ≈ 0.1286 Ω/°C。
a = Ȳ − b·X̄ = 11.7 − 0.1286 × 32.5 ≈ 7.52 Ω。
回归方程：ŷ = 7.52 + 0.129x。
根据例题 9.2 的回归方程，计算各数据点的预测值与残差，并求 R²。
对每个 xᵢ 计算 ŷᵢ 和 eᵢ = yᵢ − ŷᵢ：
| 温度 x | 实际 y | 预测 ŷ | 残差 e |
|---|---|---|---|
| 20 | 10.2 | 10.10 | 0.10 |
| 25 | 10.8 | 10.74 | 0.06 |
| 30 | 11.5 | 11.38 | 0.12 |
| 35 | 12.0 | 12.02 | −0.02 |
| 40 | 12.6 | 12.66 | −0.06 |
| 45 | 13.1 | 13.30 | −0.20 |
SS_res = 0.10² + 0.06² + 0.12² + (−0.02)² + (−0.06)² + (−0.20)² ≈ 0.072。
SS_tot = Σ(yᵢ−Ȳ)² = 7.34。
R² = 1 − 0.072/7.34 ≈ 0.990。
某工程师用 5 个数据点拟合了一个 4 次多项式，R² = 1.000；而线性模型 R² = 0.95。他应该选择哪个模型用于外推预测？
4 次多项式用 5 个点可以完美穿过每个点（R² = 1），但这属于严重的过拟合。高阶多项式在数据点之间可能出现剧烈振荡，外推预测极不可靠。
线性模型虽然 R² 稍低，但参数少、物理意义明确（电阻随温度线性变化符合材料学常识），泛化能力更强。
MATLAB 提供了强大的回归分析工具。以下代码演示从计算相关系数、拟合回归线到绘制残差图的完整流程。
运行结果：
MATLAB 的 corrcoef 返回相关系数矩阵，对角线为 1，非对角线为两两相关系数。polyfit 用最小二乘法拟合多项式系数，polyval 用于求预测值。残差图是诊断模型假设的核心工具。
当我们需要比较三组或更多组数据的均值时，t 检验不再适用——多次两两比较会放大犯第一类错误的概率。方差分析（Analysis of Variance，ANOVA）通过一次性比较所有组的均值差异，解决了这一问题。
ANOVA 的精髓是将数据的总波动分解为两部分：
其中 SST（Total Sum of Squares）是所有数据与总均值之差的平方和。如果组间变异相对于组内变异足够大，就说明各组均值之间存在显著差异。
ANOVA 使用 F 统计量来量化"组间变异 / 组内变异"的比值：
其中 dfB = k − 1（k 为组数），dfW = N − k（N 为总样本量）。MSB 和 MSW 分别称为组间均方和组内均方。
在原假设"所有组均值相等"成立时，F 统计量服从 F(k−1, N−k) 分布。若计算出的 F 值大于临界值（或 p 值小于 α），则拒绝原假设，认为至少有一组均值与其他组不同。
虽然 ANOVA 的目的是比较均值，但它使用的工具是方差的分解。通过比较"组间方差"与"组内方差"的比值，间接推断均值是否相等。当组间方差远大于组内方差时，均值必然不相等。这种通过方差推断均值的方法，由统计学家 Ronald Fisher 在 20 世纪初提出。
单因素 ANOVA（One-Way ANOVA）：只研究一个分类变量（因素）对数值结果的影响。例如，比较三种不同肥料对作物产量的影响。
双因素 ANOVA（Two-Way ANOVA）：同时研究两个分类变量的主效应和交互效应。例如，同时考察肥料类型和灌溉方式对作物产量的影响，以及它们之间是否存在交互作用（某种肥料在特定灌溉条件下效果特别好）。
ANOVA 的结论是"至少有一组不同"，但并未告诉我们具体是哪几组不同。此时需要进行事后检验，常用方法包括：
1. 制造工艺优化：比较五种不同切削参数下零件的表面粗糙度，ANOVA 能识别哪些参数对质量有显著影响，指导工艺窗口的设定。在六西格玛项目中，ANOVA 是筛选关键因子的标准工具。
2. 药物临床试验：比较新药高剂量组、低剂量组与安慰剂组的疗效指标。ANOVA 一次性判断三组差异，事后检验定位有效剂量。这是 FDA 审批药物时要求的标准统计方法之一。
3. A/B/n 测试与用户体验：当同时测试多个产品版本（如三种不同的推荐算法）时，ANOVA 判断整体差异，事后检验找出最优版本。这比多次 t 检验更严谨，避免了假阳性膨胀。
单因素 ANOVA 计算步骤：
前提假设：各组数据独立、近似正态分布、方差齐性（homoscedasticity）。若方差不齐，可采用 Welch's ANOVA 替代。
某学校测试三种教学方法（传统讲授、翻转课堂、项目式学习）对学生成绩的影响，每组 10 名学生，成绩如下：
总均值 x̄ = (745 + 814 + 875) / 30 = 2434 / 30 ≈ 81.13
传统组均值 x̄₁ = 74.5，翻转组 x̄₂ = 81.4，项目组 x̄₃ = 87.5
SSB = 10×(74.5−81.13)² + 10×(81.4−81.13)² + 10×(87.5−81.13)²
SSB = 10×43.98 + 10×0.07 + 10×40.58 ≈ 846.3
SST 通过计算所有数据与总均值之差的平方和得到 ≈ 1026.5
SSW = SST − SSB ≈ 1026.5 − 846.3 = 180.2
dfB = 3 − 1 = 2，dfW = 30 − 3 = 27
MSB = 846.3 / 2 = 423.15，MSW = 180.2 / 27 ≈ 6.67
F = 423.15 / 6.67 ≈ 63.4
查 F 分布表，F0.05(2, 27) ≈ 3.35。由于 63.4 >> 3.35，p 值远小于 0.001。
结论：拒绝原假设，三种教学方法的成绩存在显著差异。
anova1 执行单因素方差分析，返回 p 值、方差分析表和统计结构。multcompare 配合 tukey-kramer 方法进行事后检验，输出每对组间的均值差异、置信区间和校正后的 p 值。