从原始数据中提取信息，用数字讲述故事
统计学的基础是数据。在开始任何分析之前，我们必须先理解手中的数据属于哪种类型，因为不同类型的数据决定了我们能使用什么分析方法。
| 数据类型 | 定义 | 例子 | 可进行的运算 |
|---|---|---|---|
| 分类数据（定类） | 无顺序的类别 | 性别、血型、颜色 | 计数、比例 |
| 顺序数据（定序） | 有顺序的类别 | 学历、满意度等级 | 计数、排序 |
| 离散数值 | 可数的整数值 | 设备故障次数、学生人数 | 加减、平均、标准差 |
| 连续数值 | 可取任意实数值 | 温度、重量、电压 | 所有数值运算 |
你不能对"颜色"求平均值，也不能用箱线图展示"血型分布"。理解数据类型是避免统计谬误的第一道防线。在实际工程中，传感器采集的通常是连续数值，而日志记录的事件类型则属于分类数据。
总体（Population）是研究对象的全体，样本（Sample）是从总体中抽取的一部分。由于通常无法获取总体全部数据，我们依靠样本统计量来推断总体参数。
产品质量检测：一批零件的尺寸是连续数值，而"合格/不合格"的判定结果是分类数据。质检报告需要同时呈现数值统计（均值、方差）和分类汇总（合格率）。
网站用户行为分析：页面停留时间是连续数值，点击次数是离散数值，用户来源渠道是分类数据。多维度的数据类型混合是现代数据分析的常态。
面对一组数据，我们首先想知道的是：这组数据的"中心"在哪里？三个最常用的中心度量是均值、中位数和众数。
均值是所有数据之和除以数据个数，是统计学中最常用的中心度量。
总体均值用希腊字母 μ 表示。均值利用了所有数据的信息，但对异常值非常敏感。
中位数是将数据排序后位于中间位置的值。若数据个数 n 为奇数，中位数就是正中间的那个数；若 n 为偶数，中位数是中间两个数的平均值。
步骤1：将数据从小到大排序。
步骤2：若 n 为奇数，中位数 = x₍ₙ₊₁₎/₂；若 n 为偶数，中位数 = (xₙ/₂ + xₙ/₂₊₁) / 2。
中位数不受极端值影响，在收入、房价等右偏分布中比均值更能代表"典型水平"。
众数是数据中出现次数最多的值。一组数据可能没有众数，也可能有多个众数。众数适用于所有数据类型——包括分类数据。
想象一个公司有10名员工，9人月薪1万元，CEO月薪100万元。均值是10.9万元，但中位数是1万元。如果你想了解"普通员工"的收入水平，中位数更准确；如果你想计算公司总人力成本的人均分摊，均值更合适。均值反映总量结构，中位数反映典型个体。
考试成绩分析：某班级考试平均分75分，中位数82分。这说明成绩分布左偏——少数低分拉低了均值。教师应关注低分学生的学习困难，而非被平均成绩误导。
金融收益率波动：股票日收益率的均值可能为正，但中位数更接近零。这是因为极端大涨/大跌日拉高了均值，但大多数日子的波动很小。风险分析中，中位数收益配合尾部风险指标（VaR）更为稳健。
仅知道数据的中心是不够的。两组数据可能有相同的均值，但一组 tightly clustered，另一组 widely spread。描述"分散程度"的核心指标是方差和标准差。
方差衡量数据点与均值之间的平均平方距离。方差越大，数据越分散。
这是一个深刻的问题。当我们用样本均值 X̄ 代替未知的总体均值 μ 时，X̄ 本身就是从数据中估计出来的，它"迎合"了数据，导致 Σ(xᵢ - X̄)² 比真实的总平方和偏小。除以 n-1（而非 n）可以补偿这种低估，使得 s² 成为 σ² 的无偏估计。n-1 被称为"自由度"——失去1个自由度是因为我们先用数据估计了均值。
标准差是方差的算术平方根，与原始数据具有相同的量纲，因此更容易解释。
在正态分布中，大约 68% 的数据落在 μ ± σ 范围内，约 95% 落在 μ ± 2σ 范围内。这一经验法则被称为68-95-99.7 法则。
极差（Range）= 最大值 - 最小值。简单直观，但极度受异常值影响。
四分位距（IQR）= Q₃ - Q₁，即第75百分位数与第25百分位数之差。IQR 包含了中间50%的数据，对异常值稳健。
标准差的本质问题是：数据点平均离中心有多远？直接用 Σ|xᵢ - X̄|/n（平均绝对偏差）似乎更自然，但绝对值在数学上难以处理（不可导）。平方不仅保证了非负性，还放大了远离中心的点的惩罚——这正是我们想要的：异常值应该对分散度指标有更大的贡献。
数字可以描述数据，但图形能揭示数字背后的模式。直方图和箱线图是探索数据分布的两个基本工具。
直方图将数据划分为若干区间（bin），统计每个区间内的数据个数，用矩形条的高度表示频数或频率。直方图能展示数据的：
箱线图用五个统计量概括数据分布，是比较多组数据分布的利器。
箱线图基于以下五个统计量：
箱体的范围是 IQR = Q₃ - Q₁， whisker（须线）通常延伸到 Q₁ - 1.5·IQR 和 Q₃ + 1.5·IQR 范围内的最远数据点。
在芯片制造中，晶圆薄膜厚度需要严格控制。工程师每天用箱线图监控不同机台的厚度分布：箱体过宽说明工艺不稳定；中位数漂移说明需要重新校准；超出 whisker 的点提示可能存在设备异常或测量错误。五数概括让复杂的厚度数据一目了然。
异常值（Outlier）是显著偏离其他数据点的观测值。它们可能是真实的极端情况，也可能是数据采集或记录错误。识别异常值是数据清洗的关键步骤。
最常用的异常值判定方法是基于 IQR 的1.5×IQR 法则：
任何落在这个区间之外的数据点都被标记为异常值。这个规则源于正态分布的性质：在正态分布中，只有约 0.7% 的数据会落在这个范围之外。
Z-Score（标准分数）衡量一个数据点距离均值有多少个标准差：
通常 |Z| > 3 的数据点被视为异常值（在正态分布中，约99.7%的数据落在 ±3σ 内）。
发现异常值后的第一反应不应该是删除。首先要问：这个异常值是错误还是信号？在金融市场中，异常波动可能是崩盘前兆；在医疗监测中，异常生理指标可能是疾病的早期信号。异常值往往是最有信息量的数据点。
在网络安全中，服务器每秒请求数（QPS）通常有稳定的基线。使用 IQR 法则或 Z-Score 方法可以实时识别流量 spikes——这可能是 DDoS 攻击、系统故障，也可能是营销活动带来的正常峰值。结合时间序列分析，安全工程师可以区分"好"的异常和"坏"的异常。
某工厂10个零件的直径测量值（mm）为：10.2, 10.5, 10.3, 10.4, 10.6, 10.5, 10.4, 10.3, 10.5, 10.4。计算均值、中位数、众数、方差和标准差。
10.2, 10.3, 10.3, 10.4, 10.4, 10.4, 10.5, 10.5, 10.5, 10.6
X̄ = (10.2 + 10.5 + 10.3 + 10.4 + 10.6 + 10.5 + 10.4 + 10.3 + 10.5 + 10.4) / 10 = 104.1 / 10 = 10.41 mm
n = 10 为偶数，中位数 = (第5项 + 第6项) / 2 = (10.4 + 10.4) / 2 = 10.4 mm
10.4 出现3次，10.5 出现3次。因此这组数据有两个众数：10.4 和 10.5（双峰）。
Σ(xᵢ - X̄)² = (10.2-10.41)² + 2×(10.3-10.41)² + 3×(10.4-10.41)² + 3×(10.5-10.41)² + (10.6-10.41)²
= 0.0441 + 2×0.0121 + 3×0.0001 + 3×0.0081 + 0.0361 = 0.1290
s² = 0.1290 / 9 = 0.0143 mm²
s = √0.0143 ≈ 0.1196 mm
某网站20天的日活跃用户数（DAU，万人）为：12, 15, 14, 13, 16, 15, 14, 15, 13, 14, 15, 14, 16, 15, 14, 13, 15, 14, 28, 14。求五数概括，并用 IQR 法则检测异常值。
12, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 28
Min = 12；Max = 28
中位数位置 = (20+1)/2 = 10.5，Q₂ = (第10项 + 第11项)/2 = (14 + 14)/2 = 14
Q₁ = 下半部分的中位数 = 第5项 = 14
Q₃ = 上半部分的中位数 = 第15项 = 15
IQR = Q₃ - Q₁ = 15 - 14 = 1
下界 = 14 - 1.5×1 = 12.5；上界 = 15 + 1.5×1 = 16.5
数据点 28 > 16.5，因此 28 是异常值。12 < 12.5，因此 12 也是异常值。
A班成绩：72, 75, 78, 80, 82, 85, 88, 90, 92, 95
B班成绩：60, 70, 75, 80, 85, 85, 90, 95, 100, 100
比较两个班级的集中趋势和离散程度。
均值 X̄ₐ = (72+75+78+80+82+85+88+90+92+95)/10 = 837/10 = 83.7
中位数 = (82+85)/2 = 83.5
Σ(xᵢ - X̄ₐ)² = 137.29 + 75.69 + 32.49 + 13.69 + 2.89 + 1.69 + 18.49 + 39.69 + 68.89 + 127.69 = 523.50
sₐ² = 523.50/9 = 58.17；sₐ ≈ 7.63
均值 X̄ᵦ = (60+70+75+80+85+85+90+95+100+100)/10 = 840/10 = 84.0
中位数 = (85+85)/2 = 85.0
Σ(xᵢ - X̄ᵦ)² = 576 + 196 + 81 + 16 + 1 + 1 + 36 + 121 + 256 + 256 = 1540
sᵦ² = 1540/9 = 171.11；sᵦ ≈ 13.08
两班均值接近（83.7 vs 84.0），但 B 班标准差（13.08）几乎是 A 班（7.63）的两倍。说明 B 班成绩两极分化严重——既有满分也有不及格，而 A 班成绩更均衡。
某学生数学考试85分，班级平均分78分，标准差8分；英语考试72分，班级平均分65分，标准差5分。哪科成绩相对更好？
数学 Z = (85 - 78) / 8 = 7/8 = 0.875
英语 Z = (72 - 65) / 5 = 7/5 = 1.40
数学成绩比均值高 0.875 个标准差，英语成绩比均值高 1.40 个标准差。虽然数学绝对分数更高，但该生的英语成绩在班级中的相对位置更好。
在正态分布假设下，英语成绩约优于 92% 的同学，数学成绩约优于 81% 的同学。
以下 MATLAB 代码演示本章核心统计量的计算与可视化。建议在 MATLAB 中运行，加深对描述统计的理解。