Chapter 07
递归定义、几何意义、性质、按行展开与克拉默法则
n×n 矩阵 A 的行列式 det(A) 递归定义如下：
行列式的绝对值等于矩阵列向量所张成的平行多面体的体积。符号则表示定向：
线性变换将单位立方体变为由列向量张成的平行多面体。行列式就是这个变换的"体积缩放因子"。若 det(A) = 2，则变换后任何区域的面积（或体积）都变为原来的 2 倍；若 det(A) = -1，则体积不变但定向翻转。
由这三大性质可以推导出所有其他性质，如 det(AB) = det(A)det(B)，det(Aᵀ) = det(A) 等。
对任意第 i 行展开：
其中 (-1)ⁱ⁺ʲ det(Aᵢⱼ) 称为元素 aᵢⱼ 的代数余子式(cofactor) Cᵢⱼ。按含有较多零的行或列展开可大幅简化计算。
若 n×n 矩阵 A 可逆（det(A) ≠ 0），则方程组 Ax = b 的唯一解为：
其中 Aᵢ 是将 A 的第 i 列替换为 b 后得到的矩阵。
虽然克拉默法则在数值计算中效率低下（O(n!) 复杂度），但它在理论分析中极为重要：它明确展示了解与系数、右端项之间的代数关系，是研究灵敏度分析和摄动理论的基础。
对于小型矩阵，直接使用对角线法则或按行展开即可。
高斯消元不改变行列式的绝对值（交换行变号），将矩阵化为上三角后，行列式等于对角元之积：
其中 s 是消元过程中行交换的次数。这是数值计算中最稳定、最高效的方法。
在多元微积分中，变量替换 x = x(u,v), y = y(u,v) 时，面积微元 dxdy 变为 |J| dudv，其中 J 是雅可比矩阵的行列式。这一思想推广到高维即是一般换元积分公式，是微分几何和张量分析的基础。
在二端口网络分析中，传输矩阵（ABCD矩阵）的行列式通常为 1（对于互易网络）。这个性质保证了信号功率在网络中的守恒，是微波工程和通信系统设计中的重要约束条件。
控制系统的稳定性分析中，特征方程 det(sI - A) = 0 的根决定了系统的稳定性。劳斯-赫尔维茨判据通过构造行列式判断特征根是否全部位于左半平面，无需显式求解特征值，是经典控制理论的核心工具。
计算几何中，三角形面积可由顶点坐标构成的行列式直接得到；四面体体积同理。计算机图形学中的叉积本质上就是 2×2 行列式，而混合积则是 3×3 行列式，广泛用于碰撞检测、法向量计算和可见面判定。
计算行列式：
按第一行展开（或直接用 3×3 公式）：
det = 2·(4×5 - 1×2) - 1·(0×5 - 1×1) + 3·(0×2 - 4×1)
= 2·(20-2) - 1·(0-1) + 3·(0-4)
= 2×18 + 1 - 12
= 36 + 1 - 12 = 25
用初等变换将下列矩阵化为上三角，并求行列式：
R₂ ← R₂ - (1/2)R₁（倍加变换，行列式不变）：
R₃ ← R₃ - 2R₂（倍加变换）：
上三角矩阵对角元之积：2 × 1 × 0 = 0。
判断矩阵 A 是否可逆，若可逆求 A⁻¹ 的第一列：
计算 det(A)：
det(A) = 1·(1×1 - 2×0) - 2·(0×1 - 2×2) + 0
= 1·1 - 2·(-4) = 1 + 8 = 9 ≠ 0
故 A 可逆。
求 A⁻¹ 第一列即解 Ax = e₁ = (1,0,0)ᵀ。由克拉默法则：
x₁ = det(A₁)/det(A)，其中 A₁ = [e₁ | a₂ | a₃]。
det(A₁) = | 1 2 0 | = 1·(1×1-2×0) - 2·(0×1-2×0) + 0 = 1
| 0 1 2 |
| 0 0 1 |
x₁ = 1/9。类似可求得 x₂ = -2/9, x₃ = 4/9。
用克拉默法则解方程组：
A = [2 1], b = [5]
[1 -3] [6]
det(A) = 2×(-3) - 1×1 = -7。
A₁ = [5 1], det(A₁) = 5×(-3) - 1×6 = -21。
[6 -3]
A₂ = [2 5], det(A₂) = 2×6 - 5×1 = 7。
[1 6]
x = det(A₁)/det(A) = -21/(-7) = 3。
y = det(A₂)/det(A) = 7/(-7) = -1。
MATLAB 命令行输出如下：