理解"张成"的几何意义——向量能到达的所有位置
给定一组向量 v₁, v₂, ..., vₖ 和一组标量 c₁, c₂, ..., cₖ，表达式
称为这些向量的线性组合（Linear Combination）。"线性"意味着每个向量只被乘以一个标量后相加，没有向量相乘、平方或其他非线性运算。
想象你有几种基础颜料（向量），线性组合就是用不同比例（标量）调配出新颜色。如果只用红色和黄色，你能调配出所有橙色系的颜料——这就是"张成"的直觉。
在 Rⁿ 中，计算线性组合只需将对应分量分别相乘后相加：
线性组合是线性代数中最基本的构造方式。解线性方程组、求特征向量、最小二乘拟合——本质上都是在寻找合适的线性组合系数。
一组向量的所有线性组合构成的集合，称为这组向量的张成空间（Span），记作 Span{v₁, v₂, ..., vₖ}。
张成空间的"大小"取决于向量组的"丰富程度"：
图像压缩（基向量表示图像）：JPEG 压缩将图像块表示为余弦基函数的线性组合。只用少数几个基向量的线性组合就能近似重建原图，实现高效压缩。
信号合成（傅里叶基）：任何周期信号都可以表示为不同频率正弦波的线性组合（傅里叶级数）。这是音频压缩（MP3）、通信系统和频谱分析的理论基础。
材料应力分析：复杂应力状态可以分解为三个主应力方向的线性组合。工程师通过分析主应力张成空间中的应力状态，评估结构安全性。
投资组合线性组合：在金融工程中，投资组合是不同资产权重（标量）与资产收益向量（随机向量）的线性组合。现代投资组合理论就是在张成空间中寻找最优权重。
一组向量是线性相关的，如果其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。反之，如果没有任何一个向量能被其他向量表示，则称这组向量线性无关。
向量组 {v₁, v₂, ..., vₖ} 线性无关，当且仅当方程
的唯一解是 c₁ = c₂ = ··· = cₖ = 0（平凡解）。
如果存在非零解，则向量组线性相关。
判断线性相关性的核心是看组合系数：
在 R² 中：两个向量线性相关当且仅当它们共线（一个在另一个所在的直线上）。
在 R³ 中：三个向量线性相关当且仅当它们共面（至少有一个向量落在另两个张成的平面上）。
一般地，在 Rⁿ 中，如果向量个数超过 n，则这组向量必定线性相关。
向量空间 V 的一组基（Basis）是满足以下两个条件的向量组：
基是空间的"最小生成集"和"最大无关组"的结合：
向量空间 V 的维数（Dimension）是 V 的任意一组基中向量的个数，记作 dim(V)。
维数是空间的"自由度"——它告诉我们需要多少个独立参数才能唯一确定空间中的一个点。
Rⁿ 的标准基是 e₁ = (1,0,...,0), e₂ = (0,1,...,0), ..., eₙ = (0,0,...,1)。任何向量 x = (x₁, x₂, ..., xₙ) 都可以唯一表示为 x = x₁e₁ + x₂e₂ + ··· + xₙeₙ。标准基让抽象的向量空间与坐标系建立了直接联系。
求张成空间维数的标准方法：
如果向量个数等于维数且线性无关，则这组向量构成张成空间的一组基。
判断以下 R³ 中的向量组是否线性无关：
v₁ = (1, 2, 3)，v₂ = (2, 5, 7)，v₃ = (1, 1, 2)
设 c₁v₁ + c₂v₂ + c₃v₃ = 0，即：
c₁(1,2,3) + c₂(2,5,7) + c₃(1,1,2) = (0,0,0)
按分量写出方程组：
c₁ + 2c₂ + c₃ = 0
2c₁ + 5c₂ + c₃ = 0
3c₁ + 7c₂ + 2c₃ = 0
方程2 - 2×方程1：c₂ - c₃ = 0 ⇒ c₂ = c₃
方程3 - 3×方程1：c₂ - c₃ = 0（一致）
令 c₃ = t，则 c₂ = t，代入方程1：c₁ = -3t
存在非零解（如 t=1 时 c₁=-3, c₂=1, c₃=1），因此向量组线性相关。
事实上：-3v₁ + v₂ + v₃ = 0，即 v₂ = 3v₁ - v₃。
求 Span{v₁, v₂, v₃} 的维数，其中：
v₁ = (1, 0, 1)，v₂ = (0, 1, 1)，v₃ = (1, 1, 2)
注意 v₃ = v₁ + v₂，所以 v₃ 在 Span{v₁, v₂} 中。
设 a·v₁ + b·v₂ = 0，即 (a, b, a+b) = (0, 0, 0)
得 a = 0, b = 0，所以 v₁ 和 v₂ 线性无关。
v₁ 和 v₂ 线性无关且能张成整个空间（v₃ 是冗余的），所以维数为 2。
几何上，这是 R³ 中过原点的一个平面。
判断以下向量组是否构成 R² 的基：
(a) u₁ = (1, 1)，u₂ = (2, 2)
(b) w₁ = (1, 2)，w₂ = (3, 1)
u₂ = 2u₁，两向量共线，线性相关。
Span{u₁, u₂} 只是一条直线，不是整个 R²。
因此不是 R² 的基。
设 a·w₁ + b·w₂ = 0，即：
a + 3b = 0，2a + b = 0
解得 a = b = 0，所以线性无关。
R² 中两个线性无关的向量必定张成整个 R²（维数=2）。
证明：在 Rⁿ 中，任意 n 个线性无关的向量都构成 Rⁿ 的一组基。
设 v₁, v₂, ..., vₙ 是 Rⁿ 中 n 个线性无关的向量。
根据线性代数基本定理：在 n 维空间中，任何 n 个线性无关的向量自动张成整个空间。
将 v₁, ..., vₙ 作为列向量构成 n×n 矩阵 A。
线性无关 ⇔ 齐次方程 Ax = 0 只有零解 ⇔ A 可逆 ⇔ A 的列张成 Rⁿ。
因此这 n 个向量既线性无关又张成 Rⁿ，满足基的定义。
以下 MATLAB 代码演示如何用秩判断线性相关性，以及如何绘制张成空间。